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|)eiil varier depuis i jusqu'au plus grand entier contenu dans ; poul- 

 ie type (II), la somme ç -h r = n, el q peut varier depuis i jusqu'au plus 

 grand entier contenu dans -• Chacune des formes canoniques précédentes 



est caractérisée par le nombre des fonctions distinctes qui appartiennent à 

 la fois aux deux groupes des u et des v ; comme ce nombre peut varier de o 

 k n — 2, il y a en tout n — i formes canoniques distinctes, à chacune des- 

 quelles correspond une forme canonique d'équation du second ordre, 

 admettant deux intégrales intermédiaires distinctes. Toutes ces équations 

 du second ordre admettent une intégrale générale explicite. 

 » Ainsi, pour n ^ 3, on a les deux équations canoniques 



/),, = o, p.iPi- Pi3P>^0, 



dont les intégrales générales sont respectivement 



tp et y étant des fonctions arbitraires. 



» Pour « = 4, on a liîs trois équations canoniques 



j0,2 = O, P,2P3—PmP2=^0, Pr.>P2^- P,iP-2:^=0. 



» L'intégrale générale de la dernière est représentée par le système de 

 deux équations 



1 z = (f(xt,x„,a) -h'l(x3,x,,(i). 



da ' da ' 



où a désigne un paramètre variable, ç et il/ étant des fonctions arbitraires. 

 » En revenant à un système de variables quelconques, les résultats ob- 

 tenus peuvent s'énoncer jcomme il suit : Soient X,, Xj, ..., X^; P, 



P„, Z, ( 2/j + I ) fondions des variables x,, . . . , x,^; p,, />„, . . . , /;,,, z, satis- 

 faisant à l'identité 



dZ-l\d\,-...- P„ ./X„ = ?{dz - p, dx, -...-/»„ dx,,); 



• ■ Il r Df «1, «o, . . ., Il, A , 



toute équation de la Jorme j- r = o, ou u,, u^, . . , m„ sont n 



quelconques des fonctions Z, X,, P^, admet deux intégrales intermédiaires dis- 

 tinctes. Réciproquement, toute équation da second ordre, qui Jouit de cette pro- 

 priété, peut être obtenue de cette façon. 



» Il est à remarquer que tous les types ainsi obtenus ne sont pas essen- 

 tiellement distincts. » 



