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GÉOMÉTRIE. - Sur /es systèmes orthogonaux. Note de M. Tzitzêica, 

 présentée par M. Darboux. 



« Considérons dans l'espace trois points : M,(.r,-, v,, s,) (t = i,2,3), 

 où cc^, y,', Zi sont des fonctions de trois variables p,, pa, p.j telles que l'on 

 ait 



*- ' ^ d^"'" "■'" (•^' — ^*.' ' ^ "" °''* ^y' -y")' 'ai, ^' *'•* ^ ^' "' ^* ' 



(j:^ ^ -- I , 2, 3). 



On obtient ainsi une figure qu'on pout aussi définir delà manière suivante : 



si l'on a un plan 



nœ -+- ^>y -(- wz -\- p ■ ~ o, 



dont les paramètres u, r, <r,y9 satisfont à un système de Laplace 



et si l'on en prend l'enveloppe quand, respectivement, p, =const., 

 p^ = const., p., = const. , on trouve sur ce plan trois jioints de contact qui 

 sont dans la situation géométrique définie par (i). 



» On voit immédiatement de (i) que pour p^ = const. la droite M,M;j 

 décrit une congruence dont M, et M^; sont les foyers (Darboux, Géométrie, 

 IV* Partie, p. 267). 



» Considérons maintenant le point M(a;, y, s) pour lequel on a 



(3) g^ji,(^_^,). |:^^,.(^_j.,), g^p.(^_.^.) 



(^■= I, 2,3), 



les conditions d'intégrabilité étant supposées satisfaites. 



» Un calcul simple montre que x, y, z satisfont à un système de la 

 forme (2), ce qui signifie que pour p^= const. le point M décrit une sur- 

 face sur laquelle les courbes p,= const. et p^= const. tracent un réseau 

 conjugué. Nous dirons que le point M décrit un système triplement con- 

 jugué. 



» Cela étant, prenons le cas spécial de la figure M, Mo M3 où les con- 

 gruences décrites par les droites MoM^, M^M,, M,Mo quand, respecti- 



