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» Cela revient à dire que U, V aiigmenlenl d'une de ces périodes quand 

 u, V iiugmentent d'une période, et l'on en conclut aisément, en désignant 

 par cil, bj, c\, r/, des entiers, que £•; h, i;' vérifient des relations de la 

 tonne 



(B) g/i(i., ^ gg'a., -f- h^h,, + hgh., -\- ga, ^- /i{b, - - d^') - i^U/.. - r/, = o, 



(C) gha^^ gg'b^-\-h''a.,-r-hg'b„^- gc^-r- h{a^ - c.,) - g'b^ _ e„ = o, 



(D) h'a,-^ />g'(a,-r-b,)^^g''-b,^. h(a,-c,) ^ g'(b, - c,) ~ c, = o. 



» Ces relations ne sont des identités que si jj. — X' = o et ); -:= [>.' =; i . ce 

 qui est le cas de la multiplication ordinaire. 



» Si l'on désigne par A, B, C, D les premiers membres des quatre rela- 

 tions ci-dessus, on trouve identiquement 



A( a, + a.jh +a.,g' ) — B(«o -'- «se - ci..h^ 

 + C(b, -f h,h -^ b,g')-D(b„-^b,g-^b,h) = F,, 



A («3 A + b, g' — c.,) B (oa h -f- b., g' — c, ) 

 — C{a^g+ b.Ji -- </., ) -D(«.j^H- èj/i — (L) = F., 



en posant 



F, ^- ili- — gg'){a^d,,-i-b.,c.,) -hg{a.,d,-hb.,c,) 



-i- g' {^0 '^-2^(^,0. ,) h h{a„d., -<r b„c., — a,d.,-'b,c.,) -+- a„d, -^b„c\, 



-i- g'{b„d.j-T-'b,d.,) -+-h{c„b., +-a„ d., - a., d, -b.c.] ^- d„ c, - :- d, c, , 



où l'on écrit pour abréger 03^3 ^- a.jd.^ - a-jdn, .... 



» Si les coefficients des termes en /r — gg', g, g', h et le terme constant 

 sont nuls dans F, (et par suite dans Fo), la transformation (i) est une 

 transformation ordinaire d'IIermite : c'est le seul cas de multiplication 

 complexe qui ail, à notre connaissance, été étudié; on voit qu'il est loin 

 d'être le plus général, et il ne semble pas que, même dans ce cas, on ait 

 donné des résultats précis sur la détermination des périodes de multiplica- 

 tion complexe. 



» Cela posé, appelons lekuion de forme canonique entre Us périodes une 

 relation du type 



(2) aig-+-'pll-i-';g' -ht(h- — gg')->ri^O (fl-- .'lav — /,§£>«). 



