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 on y, [i, . . ., j sont des entiers; on peut énoncer, relativement aux [iilriodes 

 (le multiplication complexe, les propositions suivantes : 



» 1° Si /es équations fondamentales (A), (lî), (C), (D) se réduisent à une 

 seule, c'est-à-dire si g, h, g' .•■iiit doublement indéterminés, la relation entre 

 g, h, g est nécessairement canonique. 



» :'." Si les équations fondamentales se réduisent à deux, c'est-à-dire si g, 

 h, g' sont simplement indéterminés, les relations entre g, h, g sont deux 

 relations canoniques. 



» 3° Si les équations fondamentales déterminent complètement g, /i, g' , il 

 existe entre g, h, g' une ou trois relations canoniques. 



» 11 est aisé dès !ors de trouver les multiplications complexes corres- 

 pondant à chaque cas. 



M Dans le premier cas, la relation entre g, h, g' peut se ramener, comme 

 je l'ai indique précédemment, à la forme otg- -h pA + yg'= o, et les multi- 

 plications complexes sont données par les foruudes 



U = ht + X-yc, V = - /cy.u + (/ - k{i)i', 



/et A" étant doux entiers quelconques. A un système ('/. ^') correspond un 

 seul système (U, V); inversement, à un système (U, V) correspondent 

 (/- — p/7 -t- X'-ay)- systèmes (u, c). La multiplication complexe est une 

 transformation ordinaire d'Hermite dans le cas où ^(2/ — pA) est nul; 

 /■ = o correspond à la multiplication ordinaire. 



» Dans le second cas, celui de deux relations canoniques, on peut 

 ramener ces relations à la forme 



h- - gg=E, y.g + pA + y o' _ ?> = o 



avec les conditions fî" — 4''-T> o, E ]> o, E([i- — 4«y) — S" > o; les multi- 

 plications complexes sont comprises dans les formules 



U=[ n„ + r.rg + {^f^-b;)h]u + { ^Y^b,g-h':yh)i', 



V =[~ Hx ■+- aaA + (-7^ - b,)g']u-^(a„~^i-{- hji -h ^yg-')'-'. 



a„, <7, 0, 6, étant des entiers quelconques. A un système (u, r) correspond 

 toujours un seul système (U, V), et à (U, V) correspondent 



[al - rz„ep + ayO- + ?i(a„G - pO^ + h,h)- E(6; - b^nP, + ^-ay)]- 



systèmes (m, v). 



» Dans le troisième cas, il existe entre g, h, g' trois relations, dont une 



C, R., 189S, 1' Semestre. (T. CXXVU, N" 22.) 1 l4 



