( 6o7 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les points singuliers situés sur le cercle de 

 convergence et sur la sommation des séries divergentes. Note de M. Leau, 

 présentée par M. Appell. 



« Soit la série fÇz) = ^apZ'' dont le cercle de convergence a un rayon 

 égal à l'unité. Supposons qu'on veuille s'assurer s'il y a ou non, sur un cer- 

 tain arc de cerclo, des points singuliers. On pourra prendre sur le rayon 

 bissecteur un point b et, en l'imaginant assez voisin de Torigine, on sera 

 conduit, d'après le critérium de M. Hadamard, à étudier la limite supé- 



rieure 



fib) 



pour n infini. Or on ne change pas cette limite si l'on se 



n' 



borne à faire varier, dans la formation de la dérivée, n de n à «', — restant 



' /i 



supérieur à un nombre fixe plus grand que i. Ainsi, il existe des suites 



de nombres dépendant de a et d'un entier n 



telles que, dans les conditions énoncées, la solution du problème dépend 



de la limite supérieure de 1 :^,,,„a„+ a„^,^„a„+, +. . .+ «„',„«„' |". 



» Des représentations conformes, autres que le prolongement analy- 

 tique, donnent des résultats tout à fait analogues. 



n Ce fait est important. M. Fabry a basé sur lui ses recherches dans le 

 cas où l'arc considéré se réduit à un point. Mais, même si l'on choisit une 

 représentation conforme fournissant pour les a. des valeurs très simples, 

 l'expression ainsi introduite, et qui joue dans l'extension des séries un rôle 

 analogue à celui du terme général pour la convergence, est, en elle-même, 

 difficile à étudier. Or -on peut, sans se préoccuper de la nature des coejji- 

 cients a, tirer du résultat précédent diverses conséquences. En voici quel- 

 ques-unes que, pour plus de brièveté, j'énonce avec beaucoup trop de 

 restrictions : 



» Soit une suite de nombres positifs è„, &,, ..., è„, ..., Z»„ tendant vers i 

 pour n infini, et appelons /i"^™^ ensemble les coefficients /*„, t„+i, . • •. ^,/- 

 Si \}. est positif et inférieur à ^, co compris entre o et i, et si /?• passe par 

 toutes les valeurs entières, supprimons dans une infinité d'ensembles les hp 



