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 pour lesquels on a 



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le point e'-'^''^ sera singulier pour la série IhpZ''. De là un moyen de con- 

 struire une infinité de séries admeltant le cercle de convergence pour 

 coupure. 



» Inversement, on pourra former des séries n'avant qu'un point singu- 

 lier. Imaginons des séries /,( = ), /j(z), ..., ./„(")' •••> satisfaisant aux 

 conditions suivantes : i" le point -H i est singulier; 2" pour un nombre b 

 négatif, les expressions correspondantes relatives à chacune des séries 



tendent simultanément vers ——j; 3" dans les différences y^,+,(;) — X(^) 



les termes dont le degré varie de n à 2n ont leurs coefficients Up inférieurs 

 en module à h'', h étant une constante inférieure à l'unité. Entre autres, 

 la série dont le terme général est le n"'""-' ternie de /^^(z) n'a que le point 4- 1 

 pour point singulier sur le cercle de convergence. On peut dire, par une 

 comparaison naturelle, qu'on a en quelque sorte des séries tangentes le 

 long de polynômes plus ou moins éloignés et qu'on prend leur enveloppe 

 (qui n'est d'ailleurs pas unique). Voici un exemple simple : c'est la série 

 dont le terme général est 





les c étant des constantes dont le module est limité. 



» C'est par l'emploi des représentations conformes qu'a été obtenu le 

 résultat énoncé au début de cette Note. Elles permettent également, 

 comme l'a montré M. Lindelof, de calculer la valeur numérique de la 

 fonction représentée par une série en dehors du cercle de convergence de 

 cette dernière. Si l'on cherche, par un pareil procédé, des valeurs de plus 

 en plus approchées de la valeur exacte, on est conduit, si la série proposée 

 esty"(-) = IttpZ'', à en former d'autres dépendant d'un entier m 



(0 2a/, 



/>/"''■ 



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et qui, pour la valeur considérée de -, fournissent précisément les valeurs 

 approchées en question. Mais, en général, ces coefficients b dépendent 

 de :;. Proposons-nous donc de déterminer des nombres b constants, au 

 moins lorsque z rt-ste dans certaines légions, et tels que les séries (i) 

 soient convergentes, leurs sommes ayant pour limite /(z) en supposant 



