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» On a les théorèmes suivants : 



1° f(z) coïncide, à l'intérieur du cercle de convergence, avec la somme 

 de la série. 



» 1° f{z) est holomorphe en tout point du plan, sauf peut-être pour z réel 

 et plus grand que i . Si même cp(ic) est holomorphe pour o <^ x <^ i , la cou- 

 pure n'est pas essentielle et /{:■) n'a pas d'autres points singuliers que s - i 



et z =:(X>. 



» 3° /(s) n'est pas uniforme; le calcul du saut brusque subi par l'intégrale 

 quand on franchit la coupure donne les diverses déterminations de f(^z). 



» On a donc résolu complètement le problème du prolongement analy- 

 tique de la série. 



» II. Je citerai les cas suivants, où l'on peut affirmer que s = i est le 

 seul point singulier : - 



» 1° Si a„ est développable, pour n suffisamment grand, suivant les 



puissances positives, entières ou fractionnaires, de -• (On peut même 



supposer que ce développement contienne un nombre limité de termes 

 affectés d'un exposant négatif.) 



M 2° Si a„ est holomorphe en j — ; 



» 3° Si a„ r= y]-7(L^)'', la série 2|a,, | étant convergente; 



" ^'° Si ^n = ^l~^.^ «^'ec «^> -i; 



» 5" Si a„ est lui-même une fonction holomorphe de n du type que 

 nous étudions, le point — i étant le seul point singulier; 



« Enfin, si a„ peut être mis sous la forme en question, il en est de 

 même de la différence ( - i)"A'"'a(,. 



» III. Des conclusions analogues sont encore vraies, si l'on peut 



mettre la série sous la forme / ':^(^x) h.{x,z)dx, A étant holomorphe 

 en :; autour de l'origine. Je citerai les exemples suivants : 



» 1° Si a„=: V-^/i/', la série 2|a^|^-'' étant convergente (/■^>o), 



f {z) est uniforme et holomorphe à l'extérieur d'une courbe fermée en- 

 tourant le point z = i et laissant au dehors le point z -^ o. Si k peut être 

 aussi grand que l'on veut, f{z) n'a pas d'autre point singulier que z -- i. 

 » 2" Si la série i| A'"'ao| est convergente, /(s) est holomorphe dans la 

 région située du même côté que l'origine par rapport à une certaine pa- 

 rallèle à OY. 



C. a., iS<jS, 2" Semestre. (T. C\\\ U, N 18.) 88 



