( G56 ) 



)) 3" Si l'on a : v.„ — a,,-\-'k"b„, les quantités | a„ ^ et |A'">6ol" tendant 

 vers zéro, f{z) est uniforme et n'a qu'un seul point singulier à distance 



finie : ~- ^ y' 



» 4" Si a,^ — i,, / rfÇx")dœ, |A'"' èoj" tendantvers zéro, /(::) n'est plus 



■ 



uniforme, mais n'a toujours que le point singulier z — r. 



» Il serait aisé de multiplier ces exemples. 



» IV. La considération des polynômes de Legendre X„ permet de re- 

 connaître si l'on peut réaliser les égalités 



a„ = / (!^(x)x" dx. 



Soit X„(a) ce que devient X„ quand on remplace x'' par y.^. Si la 

 série 2 (2« f- i)X„(a)X„(a;) définit une fonction intégrable de — i à -(- i, 

 /(z) est holomorphe en tout point du plan, sauf peut-être pour les valeurs 

 réelles de z supérieures à i en valeur absolue; si même celte série définit 

 une fonction holomorphe pour |j;|<^i, /(:■) n'a pas d'autres points sin- 

 i(uliers que z - dz i. 



» V, On peut encore poser : 



<<j>{x)x"dx, ou bien «/,= / f{x)x"dx. 



» Ou obtient encore des théorèmes analogues à ceux du n° I. La consi- 

 dération de certains polynômes (polynômes de M. Hermite ou polynômes 



obtenus par le développement de e '"^^ suivant les puissances dez) permet 

 d'énoncer des théorèmes semblables à celui du n° IV. 



i On parvient ainsi à donner un sens à certaines séries entières toujours 

 divergentes : telles sont la série Inlz" et la série de Stirling. Plus généra- 

 lement, on peut traiter de la sorte des classes étendues de séries asympto- 

 tiques de M. Poincaré. 



I) VI. On remarquera que ces méthodes donnent une solution du pro- 

 blème des séries divergentes : à la série Ix,, je fais correspondre la 

 valeur /(i) et, si cette valeur existe (unique ou non), je dis que la série 

 est somrnable. On peut procéder de plusieurs façons pour sommer une 

 série : si ces diverses façons donnent le même résultat (quant aux valeurs 

 obtenues, mais non pas forcément quant aux régions de sommabdité), la 



