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 » Mais on a 



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Jo désignant la fonction de Bessel. D'où 



avec 



On voit ainsi que f{z) est holomorphe en tout point du plan, sauf pour les va- 

 leurs réelles de z supérieures à i. La droite (+ i, ->t- y^) est une coupure qui 

 peut être effective. 



» On obtient des résultats analogues en faisant certaines transformations 

 autres que la transformation d'EuIer : seulement la région où a„ doit être 

 holomorphe est alors modifiée. 



» En suivant cette voie, j'arrive, après quelques discussions fort simples, 

 au théorème suivant : Si a„ est holomorphe dans un angle (si petit qu'il soit) 



contenant à son intérieur la partie positive de l'axe OX et si la série J^ x^z" 







conserve le même cercle de convergence {de rayon i) quand on remplace npar 

 l'a/fixe d'un point situé dans l'angle précédent, la série en question ne peut 

 avoir de points singuliers que sur la partie (+ i , + oc) de OX. Il est, en gé- 

 néral, aisé de reconnaître si la coupure est essentielle ; dans le cas où elle ne 

 l'est pas, on peut trouver les points singuliers qu'elle renferme et définir 

 l'allure de la fonction en ces points. 



» M. Fabry (Journal de Malhéinatiques, 1 898 ) avait déjà établi une partie 

 de ces résultats, mais par d'autres voies beaucoup plus compliquées. En 

 outre, sa méthode ne donnait que les points singuliers de la fonction situés 

 sur le cercle de convergence, au lieu (jue la méthode précédente permet 

 d'étudier la même fonction dans tout le plan. 



» Des procédés semblables conduisent à l'étude de certaines fonctions 

 pour lesquelles la coupure affecte une forme quelconque : c'est un point 

 sur lequel je reviendrai prochainement. 



» Je termine en signalant le théorème suivant, très facile à démontrer: 

 Si -J-n est une fonction périodique de n développable en série tri gononié trique 



