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voudrais seulement présenter quelques réflexions générales sur certains 

 de ces résultats ( ' ) obtenus en étudiant la nature du /j*""""* coefficient de la 

 série de Taylor, considéré comme fonction analytique de n. 



» Considérons la série /(s) ^ 2a„3'' et, pour pi us de netteté, supposons, 

 non seulement que le rayon de convergence est égal à un, mais encore 

 que la série l\c„\ est convergente. On peut, d'une infinité de manières, 

 déterminer une fonction analytique '\'{x), telle que l'on ait oL„ = '\i(n). 

 L'étude des points singuliers de /(z), autres que s — i et z = oo, ne dépend 

 que de la manière dont <j'(a;) se comporte à l'infini. C'est une conséquence 

 d'un résultat oiitenu, dans les Mémoires cités, poin- le cas où ^{x) est 

 régulière à l'infini. On pourra môme ajouter qu'il suffit d'étudier iL {x) dans 

 un certain voisinage de l'axe réel positif. 



» On peut, en particulier, prendre pour 6(aT) une fonction entière, et 

 cela d'une infinité de manières. Nous poserons, pour fixer les idées, 



, / \ sin T..X x^ ^n 



Cette fonction entière est, en général, d'ordre {-) égal à un. M. Leau a 

 énoncé un résultat intéressant dans le cas où cet ordre est plus petit que un. 

 « Désignons |)ar (C) un contour entourant le point z -^ o, et à l'inté 

 rieur duquel /(-) est holomorphe. On a 



d'où 



en posant 



K^) = ^^ fu(u)^{x, u)du, 



h(x, u) = y - — L^ — . . 



I.a fonction analytique 0(yr, u) s'exprime aisément par une intégrale dé- 

 finie; il y aurait lieu d'en faire une étude approfondie, en la regardant 

 comme fonction des deux variables x et u. 



( ') Noir les Mémoires cités de MM. Fabry, Leau, Le Roy, Lindelof. 



(-) J'appelle, ici, ordre ce que j'ai appelé ordre apparent dans mon Mémoire Sur 

 les zéros des fonctions entières (Acla niathemalica, t. XX). Il n'y a pas intérêt ici à 

 le distinguer de Vordre réel, auquel il est égal, sauf dans le cas d'exception de 

 M. Picard. 



