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 aussi o), prenons pour valeur de la fonction v — /(a:) la fraction 



o, />, h ,h.^. . ., 



en considérant cette fraction dans le système de numération de base m, 



c'est-à-dire 



by bï 63 , 



•^ m m- nr 



)) Dans le cas où la fraction o, a^a.^a■^... a des chiffres impairs, arrê- 

 tons la fraction au premier chiffre impair a,,, 



o, a, «2^'n- • •'■'a-i «a 



et prenons pour valeur de la fonctiony'(;r), 



y = o.hJ).,b.,...hi,_J>^, 

 où 



'2 "2 3 2 a 



la base étant m. 



» La fonctiony(.z) ainsi définie jouit de propriétés fort singulières. Cette 

 fonction n'a pas de dérivée pour une infinité de valeurs de .r. Pour les 

 autres valeurs de x, la dérivéey'(a:;) est nulle. 



» Elle est continue et varie de o à i quand x parcourt toutes les valeurs 

 de l'intervalle (o, i). 



» La fonction /'(a') est évidemment intégrable. Il est aisé de calculer les 

 valeurs de l'intégrale 



,(x).r. f f(x) 



dx 



pour toutes les valeurs de x. 



» La nouvelle fonction io(^x) a la propriété remarquable d'avoir des 

 valeurs rationnelles pour les valeurs rationnelles de x. 



» Les lignes déterminées par la fonction j- = oj(ic) sont composées d'une 

 infinité de parties rectilignes, ce qui les rapproche des polygones. Mais ces 

 lignes ont la propriété essentielle des lignes courbes, d'avoir pour chaque 

 point une tangente bien déterminée qui change de direction d'une façon 

 continue quand le point de contact parcourt la ligne. 



» Nous pouvons nommer les lignes singulières déterminées par la fonc- 

 tion >' — "(j') courbes polygonales. 



