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peuvent être écrites à la seule inspeclion du Tableau (F), même en y 

 donnant aux termes extrêmes les signes qui leur conviennent, puisqu'on 

 sait que a cLcont loujoiirs des signes conlraircs, etquert,+i = O en valeur 

 numérique et en signe. 



» On remarque, en outre, en consultant le Tableau final du n° 188 des 

 Disq., que les quotients désignés chez Gauss par la lettre /(, et tels qu'on 



ait /i,= -^ -j qui sont les éléments fondamentaux des suites récur- 



rentes a, j3, y, S de ce Tableau (bien qu'ils n'y soient point écrits), ne sont 

 autre chose que les quotients entiers partiels de Lagrange, d'où il s'ensuit, 

 comme le P. Pépin avait bien voulu me le signaler, que les réduites de 

 Gauss ne diiïèrent pas des transformées de Lagrange. Je reviendrai tout 

 à l'heure sur ce point avec plus de détails, mais je veux auparavant faire 

 voir que le rapprochement des deux procédés est encore plus intime que 

 ne l'indiquent les remarques précédentes. 



» En effet, si l'on forme, avec Lagrange, le Tableau des fractions con- 

 vergentes vers M, savoir : 



Quotients entiers incomplets. 3;2, i, i, i, 5, 3; 2, i, i, i, 5, 3; 



Fractions convergentes vers ) ^ ^ 2 — 12 '^ 1^ ^1 i"8 i6or 2719 4820 24819 

 i(y/^+8). i o' i' 2' 3' 5' 8' 45' 143' 33. ' 474' ^^'T^' "^ï^' 



on constate que les numérateurs de ces fractions ne sont, dans le même 

 ordre, que les coefficients S du Tableau de Gauss, tandis que les dénomi- 

 nateurs sont les coefficients ^ du Tableau ; ou bien, si on y lit une ligne plus 

 bas, les coefficients y et a de ce même Tableau, respectivement. Cette 

 identité n'a rien qui doive surprendre : elle résulte, en effet, de ce que les 

 deux termes initiaux des suites récurrentes, formées, d'une part, par les 

 numérateurs et les dénominateurs de ces fractions convergentes, et, d'autre 

 part, par les coefficients S, § (ou y, a), sont les mêmes, respectivement, 

 tandis que l'échelle de relation, à degrés variables, est aussi la même pour 

 les unes et pour les autres, puisqu'elle n'est autre chez Gauss que la série 

 des quantités h, identique à celle des quotients \j. de Lagrange. 



» En résumé, on peut lire les réduites de Gauss et tous les nombres figurant 

 sur son Tableau de transformation dans les quotients complets de Lagrange et 

 dans les deux termes de ses fractions convergentes, et inversement ; ce qui, 

 pour l'objet spécial dont il s'agit, rapproche singulièrement les deux mé- 

 thodes et, que je sache, n'avait pas encore été signalé. 



» Un second exemple, où le déterminant positif D est choisi parmi 



