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divisés par 2 et pris positivement, reproduisent les termes moyens de ces 

 réduites. 



» Actuellement, écrivons les fractions convergentes (de Lagrange) vers 



M, qui n'est autre ici que y 29; on a 



I 5 II 16 27 7o_ 727 i5-2,\ 225i 3776 9801 



ô' 7' T' y T' T3' 735' "283"' Ti8~' J^' 782^' ■■■■ 



» On y voit que les coefficients S^ = 70, p,, ^ i3, qui correspondent à 

 la cinquième réduite de Gauss, c'est-à-dire à celle qui termine sa première 

 demi-[)ériode (après laquelle les mêmes réduites reparaissent dans le 

 même ordre avec un simple changement de signe dans les termes extrêmes), 

 sont, respectivement, les valeurs de t et u qui satisfont à l'équation indé- 

 terminée /' — 29«-= — I (à cause du rang impair qu ils occupent dans la 

 série et qui y marque le terme de la période de Lagrange), tandis que les 

 coefficients S,„ = 98oi et ^,(, = 1820, qui apparaissent au bout de la pé- 

 riode complète de Gauss et de la deuxième période de Lagrange, satisfont 

 à l'équation i* — Dm- = + 1 , et ainsi de suite indéfiniment. 



» On peut tirer de cette simple remarque une nouvelle démonstration 

 des propositions qui ont fait l'objet de ma dernière Communication (séance 

 du 2.\ octobre); mais elle serait ici superflue après celle que j'en ai donnée. 



5) IIL Ce dernier exemple montre que, si l'on prend pour point de 

 départ la forme F = (— D, o, 1), les procédés de Lagrange et de Gauss 

 ne diffèrent entre eux, ni par les détails, ni par les résultats. Mais comme 

 Gauss n'admet pas, même pour cette fonction initiale, les formes à terme 

 moyen nul ('), il reste à montrer ce qui arrive lorsque ce point de départ 

 est une forme, réduite au sens de Gauss, autre que celle-là. 



» Déjà nous savons (I) que les deux méthodes reviennent alors au 

 même, s'il ne s'agit que d'approcher indéfiniment de la valeur de M et, 

 par suite, de yjD. Mais, en ce qui concerne la recherche des solutions des 

 équations l'^ — Dw- = dz i, on pourrait croire, au premier abord, que celle 

 de Gaussa l'avantage, à cause des facilités que procurent les formules (i3), 

 (i4) et (18) à (21) du n" 162 des Disquisitiones pour obtenir le résultat 

 qu'on cherche alors. Toutefois, ce n'est là qu'une apparence; les fractions 

 convergentes de Lagrange se prêtent, par leurs deux termes, au même 

 office que les coefficients a, p, y, ^ de Gauss, et avec non moins de facilité. 

 Si l'on est d'abord jiorté à croire le contraire, c'est peut-être parce que les 



(') J'en ai dit les raisons probables dans une précédente Communication. 



