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vues judicieuses cl originales qui eu rendent, dans maintes pages, la lec- 

 ture attrayante, et l'indication de problèmes variés dont l'élude semble 

 devoir être féconde. Dans le premier Chapitre, on trouve d'abord diverses 

 considérations sur l'ordre d'infinitude d'une fonction d'une variable 

 réelle x, quand celle-ci augmente indéfiniment par valeurs positives; c'est 

 là une question en relation étroite avec la représentation asymptotique des 

 fonctions. L'application de ces remarques conduit à un théorème curieux 

 sur l'ordre d'infinitude des solutions d'une équation différentielle algé- 

 brique, dont nous énoncerons seulement un cas particulier relatif aux 

 équations du premier ordre : pour une telle équation, toute intégrale res- 

 tant finie à partir d'une certaine valeur de x et grandissant indéfiniment 

 avec cette variable reste inférieure à e'' . Sans insister sur ce premier Cha- 

 pitre, qui ne rentre qu'indirectement dans le sujet proposé, passons aux 

 parties du Mémoire où sont spécialement étudiées les séries divergentes. 

 Dans le Chapitre II, l'auteur reprend, en la généralisant, la méthode de 

 sommation indiquée par M. Borel dans ses études sur les séries divergentes 

 sommables, et il applique cette méthode aux séries de Taylor ayant un 

 cercle de convergence de ravon fini. En se servant de l'intégrale de Cau- 

 chy, on est ainsi conduit à une région de sommabilité et à une expression 

 analytique où figure une fonction entière associée étroitement à la série 

 proposée, qui permet de résoudre quelques problèmes intéressants relatifs 

 au prolongement analytique. Tout ce Chapitre est une application heureuse 

 des idées de M. Borel sur la sommation des séries divergentes ; on y retrouve 

 quelques-uns des résultats du Mémoire n" 2, mais les méthodes y sont pré- 

 sentées d'une manière plus large et qui en fait mieux saisir la portée. Nous 

 arrivons enfin au troisième Chapitre, de beaucoup le plu; important et le 

 plus nouveau du Mémoire; il est consacré aux séries de Taylor dont le 

 rayon de convergence est nul, et à l'étude de cas étendus dans lesquels une 

 telle série peut être regardée comme conduisant à une fonction déterminée. 

 Pour les séries de Taylor à rayon fini de convergence on avait, par la série 

 même, un élément de fonction qu'im procédé ou un autre pouvait permettre 

 d'étendre; le problème à traiter se présentait de lu i-mêmc. Dans le cas actuel, 

 au contraire, il faut commencer par poser la question. L'auteur se propose 

 de déterminer, au moyen de la série divergente 2a„s", une fonction dans le 

 voisinage de l'origine et dans un certain angle ayant ce point pour sommet, 

 fonction dont la dérivée d'ordre quelconque n tende vers i.i. . .n.a^, 

 quanti r tend vers zéro par un chemin intérieur à l'angle. Si pour un 

 angle A les coefficients a,^ remplissent certaines conditions, la fonction 



