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 mobiles. Ce problème a été résolu par M. Painlevé ( ' ) dans le cas où P est 

 du premier degré en f . Nous nous proposons de résoudre cette question 

 pour les équations du second degré en y' et de degré q {-) en y, 



(i) Ly'='— 2My'+N = o. 



» Par le mot explicitement, j'entends que les coefficients des polynômes 

 L, M, N doivent être exprimés algébriquement à l'aide d'un certain nombre 

 de constantes et àe fonctions arbitraires de ;r et de leurs déri^•ées. 



» On sait que, lorsque l'intégrale générale de (i) n'acquiert qu'un nombre 

 finin de valeurs autour des points critiques mobiles, elle peut s'écrire 



(2) ooC^- 2!ÎC + Y = o, 



où a, p, Y sont des polynômes en y de degré n, si le genre cr de la relation 

 entre les constantes intégrales est nul, et de degré 211, si ce genre est égal 

 à I . Quant au cas de cj > r , on sait qu'il ne peut se présenter ici. 

 » Traitons d'abord le cas de u ^ o. Posons 



iVP-LN=P-QR, p--aY = n^Q'R; 



R = o (de degré A) définit les intégrales singulières et Q = o (de degré y) le 

 lieu des points de rebroussement des intégrales ; P et n sont de degrés i et m 

 et les entiers positifs i, j, k, n, m, q vérifient les relations 



iq — 4 = 2/ +y + /■, 2n = 2W + 3y -H /•. 



» La relation (2) est, par hypothèse, irréductible en y et C, sauf pour 

 certaines valeurs de C et, en particulier, pour les valeurs remarquables C^. 

 telles que l'équation (2) en y admette pour C = C^, quel que soit x, des 

 racines multiples y = ^(.T) dites solutions remarquables, dont les ordres 

 de multiplicité a^ ,br e^ sont liés au degré q par la relation ('") 



(3) q = -in-^k — m^r- i) H-(/v— 1) + ... 4- (e,.— i)]- 



» Ces propriétés rappelées, choisissons arbitrairement un svstème 



d'entiers positifs i,j, k satisfaisant à la relation 29 — /j =r ii -\-j -h k (avec 



j -\- k^ 2, '3j + A- < 2«, k^q — 2/i), et soient p. II, O, R quatre |)olvnomes 



en y de degré n, m,j, k dont les coefficients sont des fonctions arbitraires 



(') Leçons de Stockholm, p. i5i. — Annales de la Faculté de Toulouse, i8g6. 

 ( - ) Moyennant une transformation hotnographique efTectuée sur j, on peut toujours 

 admettre que L, M, N sont de degrés q — [\, q — 2 et <7 en >•. 

 C) P. Painlevé, Leçons de Stockholm, p. 167. 



