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(le œ. La (liriéreiice p^ — I1"Q'R est un polynôme de degré 2.n, que je 

 décompose en un produit de polynômes a et y de degré n, dont les coeffi- 

 cients sont des fonctions algébriques des rn -h J + X • + n -t- 2 coefficients 

 arbitraires l(x), de p, II, Q, R. Si j'exprime maintenant qu'il y a p solutions 



remarquables j = g,{-T) j = o/>(^) d'ordre a,, a.,, . . . , «^ (avec la 



condition a, — i H- Oa — i +. . . + ap_, ^= 2n -\- k — y), j'obtiens "xn-i-k — q 

 conditions rt/^e'/yn^ifej dépendant de /> constantes C,, C^, ..., C^. Il reste 

 alors m -\-j-\- k -h n -h 2 — (^n ^ k — q) =^ i -h l^ fonctions arbitraires. 



» Nous voyons donc que, pour chaque choix des entiers positifs i, j, k 

 assujettis à la condition ii -hj + k ^ /| (^avec les restrictions indiquées), nous 

 formons un nombre fini de systèmes de conditions algébriques entre les coeffi- 

 cients de(-j'.). CliHcun de ces systèmes définit une équation (2) dépendant de 

 i -h l\ fondions arbitraires cl d'un certain nombre de constantes arbitraires 

 égal au nombre des solutions remarquables. Ce nombre atteint son maximum 

 2.n-\-k — q quand toutes les solutions remarquables sont d'ordre deux. 



» Dans ce dernier cas, qui peut être considéré comme le plus général, nous 

 faisons la discussion complète des conditions algébriques correspondantes 

 et nous montrons : 1° que les conditions précédentes sont compatibles et 

 déterminées; 2" que l'équation (2) la plus générale est irréductible ; 3" que 

 l'équation dilTcrentielle (i) correspondante, dont le degré est au plus égal 

 à q, est exactement de degré q; l\° que le nombre des branches de l'intégrale 

 qui est au plus égal à n, est bien égal (') ^ ti, et que, par suite, le genre de 

 la relation entre les constantes intégrales est nul. 



» La question ainsi posée au début est donc résolue dans le cas de w ^ o, 

 et le type le plus général des équations (1) répondant à la question dépend de 

 ï 4- 4 fonctwns arbitraires et de 2>i -\- k — q constantes ( " ) arbitraires, k dé- 

 signant le nombre des intégrales singulières distinctes. 



» Passons au cas de 13= i. On montre d'abord quey = o (donc A' est pair, 

 soit k =^ 2r). L'intégrale générale est donnée par la quadrature de différen- 

 tielle totale 



» La différentielle— —-> qui se déduit par une transformation d'ordre n 

 v/R ^ ' 



(') Il y a toutefois deux cas d'exception : q =z ^, J =:o, A" =4 et ^ = 4,7=0, 

 /r=2, pour lesquels, comme on sait, l'équation (1) a ses points critiques fixes. 



(^) Ce nombre peut être réduit à 2« -h k — </ — 3, parce que les formes (2) de l'in- 

 tégrale se déduisent de l'une d'entre elles par le changement de C en —^ ^ • 



