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 T(r\ , ..., r]., q,, . . . , q,,) désigae une forme quadratique des variables r\. 



» Observons d'abord que, quels que soient T et les Q,, les relations 

 entre les y, ne sont pas modifiées quand on remplace T par (Jl,, Q,- pai- 

 aQ,-, C et a clant des constantes différentes de zéro. Pour T et Q, quel- 

 conques, il n'existe pas, comme nous Talions voir, d'autres équations (2). 



» Si T est quelconque, mais si les Q,- admettent une fonction de forces, 



Q,= ^, on peut, comme l'a montré M. Darboux, remplacer T par 

 C(U +- h)T, et U par . , , , ' sans modifier les relations entre les r/,-. 



» Pour T quelconque, on forme de cette manière toutes les équa- 

 tions (2). 



» Traitons maintenant la question posée, en nous'plaçant d'abord dans 

 le cas où tous les Q,- sont nuls. S'il en est ainsi, les Q,' sont nuls égale- 

 ment, car les relations entre les y, ne dépendent que de (2k — 2) con- 

 stantes. Le j)roblème auquel nous sommes ramenés coïncide donc, pour 

 k = 1, avec le problème de M. Dini. En généralisant la méthode par 

 laquelle M. Darboux résout ce dernier problème, nous montrons que les 

 équations (i) (où les Q,- sont nuls) admettent l'intégrale du second degré 



» Le premier membre de (4) ne se réduit à une constante que si 

 T, =: CT. 



» Il résulte de là qu'o« peut passer du. système (}) au système (2) {où 

 Q,. = Q,' = o ) par la transformation 



5) "3: = ^'"iï:" 



» Quand T et T, satisfont à cette condition, à des fonctions Q,- quelconques 

 correspondent, ainsi qu'on le voit aisément, des fonctions Q- telles que les 

 systèmes (i) et (2) définissent les mêmes relations entre les ly,, et l'on passe 

 encore de (1) à (2) par la transformation (5). 



» Inversement : 1° si les formes T et T, sont telles qu'à des fonctions 

 Qi quelconques on puisse faire correspondre des fonctions Q,' pour les- 

 quelles le système (2) répond à la question, on peut passer de (i) à (2) 

 par la transformation (5), et quand on annule tous les Q,, les équa- 

 tions (i) admettent l'intégrale (4); 2" si, pour certains systèmes de fonc- 



