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 lions <),, Q,', on peut passer rie (i) à (2) par une transformation 



(h = kiq,, .. ., qk)dt^, 



la même substitution transforme (i) en (2) quand on annule les Q, et les 

 Q,' , et les propriétés précédentes s'appliquent. 



» Cette dernière partie du théorème, prévue par M. Appell, a été dé- 

 montrée par M. Dautheville pour /• = 2. 



» Il convient de signaler le cas où T, coïncide avec une des torces 



vives T' qui dérivent de T, quand on remplace les </, par o,(^ q,,). 



Les relations entre les q, sont alors les mêmes que le système S soit sou- 

 mis aux forces Q, ou aux forces QXÇt ?*)• SiT, dépend de constantes 



arbitraires, les iic^xnxlions des géoJésiques relatives à T admettent un groupe 

 continu de transformations. Inversement, si ces équations admettent un 

 tel groupe, ce groupe transforme T soil en elle-même, soit en une forme T, , 

 dépendant de constantes, qui jouit par rapporta Tdes propriétés que nous 

 venons d'énoncer. On peut dans ce cas calculer les fonctions Q, telles que 

 les équations entre les ^, définies par (1) admettent le même groupe ou 

 un sous-groupe. Ces remarques s'appli(]uent en particulier aux transfor- 

 mations homographiques de M. Appell. 



» Quand le problème des géodésicjues relatives à T admet une intégrale 

 du second degré K — h' . on peut toujours supposer que le discriminant S 

 de R n'est pas nul, iniisque K 4- CT est encore une intégrale. Les équn- 



lions [2) où l'on fait Qj = o e^ T, = ( v- ! R correspondent-elles aux équa- 

 tions (i) par la transformation (5)? 



» Cette réciproque, vraie pour ^ = 2, ne l'est plus pour A- quelconque; 

 T et R doivent satisfaire à des conditions supplémentaires. Au sujet de ces 

 intégrales, je renverrai à deux Notes de M. R. Liouville (Comptes rendus, 

 avril et décembre 1891). 



» Abordons enfin la question dans toute sa généralité. Il est clair que 



-4^' et -p- peuvent s'exprimer à l'aide des o,, ~ et de -j^> par exemple : 

 dt dt^ i ' ^' dq^ dc]\ ' ' 



-^ est donc une fonction de ^,, -j- et de J- • f^ous montrons que l'expres- 

 sion 



1 dq^ 





dt 



