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» Les résultats énoncés par M. Painlevé, pour un système de points 

 soumis à des forces qui admettent un potentiel, s'étaient présentés à moi 

 dans d'autres recherches, mais n'en ayant mentionné qu'un cas particu- 

 lier, vers la fin de ma Note du 6 avril 1891, je n'aurais pas à revenir sur 

 ce sujet, si la méthode dont j'ai fait usage, très différente, semble-t-il, de 

 celle qu'a employée M. Painlevé, ne m'avait conduit en même temps à quel- 

 ques résultats, qui ne paraissent pas avoir été signalés jusqu'ici. Je de- 

 mande à l'Académie la permission de les indiquer en peu de mots. 



» Lorsqu'un système matériel est soumis à l'action de forces qui déri- 

 vent d'un potentiel, si l'on désigne par ce,, x-j., ..., ^,„ les variables dont 

 sa position dépend à un instant quelconque, les équations qui détermi- 

 nent les trajectoires de ses divers points peuvent être représentées ainsi 



(i) dxi d^xi, - dx^ d-Xi —- ^ {pfj,. dx^—pf,, dx^) dx^ dx^; 



les coefficients /J/'},, /)),"/,. sont des fonctions de x^, x.,, . . ., jf,„ et n'entrent 

 pas tous d'une façon distincte dans les équations (i); ces dernières en 

 renferment seulement certaines combinaisons, qui sont données. Je sup- 

 poserai que l'on ait complété la définition de ces coefficients par les 

 identités 



I.f 



Kl _ „ 



('I 



au nombre de m et dont il est facile d'apercevoir la signification. Un en- 

 semble d'équations du type (i) n'appartient pas toujours aux trajectoires 

 des points d'un système matériel : il faut, pour qu'il en soit ainsi, certaines 

 conditions que l'on peut se proposer d'obtenir. Elles résultent du théo- 

 rème suivant : 



» Pour que les équations (i) définissent les trajectoires des points d'un sys- 

 tème matériel, soumis à l'action de forces qui dérivent d'un potentiel, il est 

 nécessaire et suffisant que les équations suivantes, au nombre de 



m ( m — I ) ( »« + 2 ) 



, -, j ' W ■ (A) 



(A) 



