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soient satisfaites par les '—^ — '- inconnues fi' , fi^^ qu'elles renferment linéaire- 



ment. 



» Ceci ayant lieu, soit A le déterminant symétrique des quantités /,,;t; la 

 forme quadratique suivante > 



(3) 2T = 2i4777/'^^''^^* 



représente la force vive dans le mouvement dont les équations (i) don- 

 nent alors la définition et l'intégrale du second degré correspondante 



s'exprime par la formule 



2T = constante. 



» Il peut arriver que les équations (^2) possèdent plusieurs solutions 

 distinctes. La recherche des cas où il en est ainsi est une extension immé- 

 diate du problème de M. Dini. Si l'on désigne alors par /'j' les fonctions 

 qui constituent un second ensemble satisfaisant aux équations (2) et par 

 A'"* le déterminant analogue à A, le rapport 



( f\ ^^ Oji,k 



égalé à une constante, est une intégrale des équations différentielles des 

 trajectoires. 



)) C'est la proposition de M. Painlevé. 



» De plus, comme les relations (2) sont linéaires, elles sont aussi satis- 

 faites par les fonctions y, ,;-+- c/]'".'» où '^ constantecest à volonté; en intro- 

 duisant ces dernières à la place des quantités y, y^, dans l'expression (4), 

 son numérateur devient une fonction entière de c, qu'il contient à la puis- 

 sance m — I. L'intégrale (4) se décompose donc en plusieurs autres et 

 donne, en général, un système complet d'intégrales premières du problème 

 étudié. C'est à ces circonstances que j'avais fait allusion dans les derniers 

 alinéas d'une Note, présentée à l'Académie le i4 décembre 1891 et à la- 

 quelle d'ailleurs M. Painlevé a bien voulu renvoyer. 



» J'ai signalé dans cette même Note que l'existence d'une intégrale du 

 second degré, différente de celle des forces vives, ne suffit pas pour que 

 la forme quadratique correspondante (3 ) vérifie les conditions du problème 

 de M. Dini : l'existence de plusieurs intégrales du second degré n'est pas 

 non plus caractéristique. 



