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 » Lemme II. — Si R esl l'affixe â'unpoinl de l'aoce des x intérieur au cercle 

 de convergence d'une fonction G(<), la considération des dérivées successives 

 de G{t) montre que le coefficient de t", dans le développement de celte fonc- 

 tion, peut s'exprimer par la formule j^ — > ■/) tendant vers zéro, quel que soit 



l'entier positif et Jini p, lorsque n augmente indéfiniment. 



)) La méthode de M. Darboux, à laquelle M. Flamme a donné une 

 grande extension dans sa Thèse (Paris, Gauthier-Villars, 1887), repose 

 sur le théorème suivant : 



» Soient F (:; ) une fonction développable par la série de Laurent entre deux 

 cercles de rayons R pi/-(R>r) et ]\I„ le coefficient de z". Admettons qu'il 

 existe sur la circonférence (R) «« point singulier a, dans le domaine duquel 



(>) 



F (.^) - 9(-.) -t- H. {z - «y. 4- H,(,^ - «)^ + . , 

 + \i^{z-a)\ + {z-ay'h{z); 



h étant positif , non entier et supérieur aux nombres h,, h.,, . . ., h^; les coeffi- 

 cients H désignant des constantes, 9(2) une fonction holomorphe autour de a 

 et ^(^z) une fonction finie dans le domaine de a. Dans ces conditions, le coef- 

 ficient M^ de z" dans la fonction 



(2) F,(z) = U,(z- a)''. + H,(= - a)"'. + . . . + H^(; _ a)*,, 



diffère de Mn d'une quantité de l'ordre de ^^ -r:^- 

 » Il faut établir que l'intégrale 



(3) I = 2.-<M„ - m;') =pA^y^li^dz, 



prise le long d'une circonférence comprise entre (R) et (r), est de l'ordre 

 de T>7; ■"tïvj' O" peut prendre pour nouveau chemin d'intégration une cir- 

 conférence (p) de rayon p >^ R, à la condition : i" de choisir p — R assez 

 petit, tout en étant fini, pour n'introduire à l'intérieur de (p) que le point 

 singulier a de F(::); 2" d'adjoindre à (p) un lacet (A) construit de façon 

 à laisser le point a en dehors du contour fermé suivi par la variable. Nous 

 supposerons le lacet composé d'une circonférence (c) de rayon infiniment 

 petit, décrite autour de a, et d'un chemin rectiligne double, de longueur 

 p — R, dirigé dans le sens du rayon qui joint l'origine au point a. 



_ _ s oîi l'intégrale est prise le long de 

 la circonférence (p) à partir du lacet, est holomorphe à l'intérieur de cette 



