( 995 ) 

 circonférence. Le second lemme montre dès lors que la partie de l'inté- 

 grale I relative à la circonférence (p) est négligeable vis-à-vis de ~ -^• 



Tenant compte des formules (i) et (2) et observant que 2^ est holo- 



morphe à l'intérieur du lacet (A), l'intégrale à évaluer se réduit à 



' -^ .„+i <t'(^) d^, prise le long du lacet; et comme h est positif et la 



(A) *" 



circonférence (c) infiniment petite, la portion de l'intégrale qui corres- 

 pond à cette circonférence est infiniment petite. 



» Soient to l'argument de a et v une variable réelle. La partie de l'inté- 

 grale I qui reste à calculer est prise le long du double chemin rectiligne; 

 on trouve pour sa valeur, après un changement de variable facile, 



(4) I = - ,— „X (RTÔ^K« + ^e^dv + ^-— -^ IKT^T-M^ + ..'— q./.. 



jj: p— -, est une fonction réelle et positive de c. Grâce à cette circon- 

 stance on peut faire sortir la fonction (J/ des signes /, en s'appuyant sur 

 un théorème bien connu de M. Darboux. L'ordre de grandeur de I dé- 



XP ^J| f-iç 

 Tp — -^T^TTi' Appelons I' ce 



que devient I lorsque l'on substitue (s — «)* à F( = ) — F, (z) dans l'équa- 

 tion (3). En vertu du premier lemme, I' est de l'ordre de ^ -fip^- D'autre 



part, la formule (4) donne, en y remplaçant ij/ par i, F^ j^^^^ — ' J. 



Le coefficient de J est fini et différent de zéro, donc J est de l'ordre de F, 

 c'est-à-dire de 77- —r—r- c. o. f. d. 



» Lorsqu'il y a plusieurs points singuliers sur la circonférence (R), 

 le même mode de raisonnement subsiste; toutefois la fonction (2) doit être 

 remplacée par la somme des fonctions telles que F,(;) relatives à ces 

 points singuliers. 



» Le calcul du coefficient de — se ramène au précédent en changeant 



I 

 :■ en - • 



» Légèrement modifiée, la même marche conduit à la valeur asym- 



ptotique des intégrales j •'-^dz, /(z)z"dz prises le long d'un contour 



