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 le nouveau paramètre s étant défini à une constante additive près. Alors 



et l'équation du mouvement devient 



4; &:)']="'• 



dt- 



>) Pour qu'il y ait tautochronisme, il faut et il suffit que S soit de la forme 

 — 'j.s, [j. étant une constante positive. La position particulière que le sys- 

 tème atteint toujours dans le même temps est alors celle qui correspond à 

 5^0; c'est une position d'équilibre stable. 



» 3. Prenons maintenant le cas général où la position du système dé- 

 pend de k paramètres g^, q.^^ • • •> (Ik- O" a 



2 T =. V ttij (i\ q) {a,j = aji), 



2(X Sa; -h Y Sj + Z Iz.) = Q, Iq, + Q.Jq,-h . . . -h Qa- ^,. 



» Introduisons de nouvelles liaisons, actuellement inconnues, rendant le 

 système à liaisons complètes et tautochronc : on peut toujours supposer 

 alors q,, q.,, ..., 7^ exprimés en fonction d'un paramètre q; l'équation 

 unique du mouvement est 



dT = Q,dq,-^Q,dq, + ...-i- Q, dq^. 

 » D'après ce qui précède, si l'on introduit la variable s définie par 



( I ) \/2 ttij dqi dqj = ds, 



on devra avoir 



(2) Q I c?y , + Q2 r/^o . . . + Qa dq,, — — u.sds. 



» Réciproquement, si l'on a trouvé des fonctions q^, q,, ..., g'/, de s, vé- 

 rifiant ces deux relations (i) et (2), le système proposé devient un sys- 

 tème à liaisons complètes dont la position dépend du seul paramètre s\ 

 et ce système est tautochrone. 



» Comme on n'a que deux relations pour déterminer y,, q,^ . . ., q;, en 

 fonction de s, on doit, en outre, se donner arbitrairement {k — 2) rela- 

 tions compatibles entre q,, q., . .., q/, et s. On peut, par exemple, choisir 

 ces relations complémentaires comme il suit. Imaginons un autre système 

 de forces X''', Y<", Z''' appliquées au système matériel primitif et donnant 



C. R., 1893, !'■ Semestre. (T. CXIV, N° IS.) I29 



