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» Cela posé, supposons que la quantité p^ devienne algébriquement 



plus petite que toute quantité positive donnée, lorsque R augmente indé- 

 finiment (ainsi il faut remarquer qu'il n'est rien supposé sur les valeurs 

 négatives de P). Je dis que la fonction /se réduit à un polynôme de degré 

 m — I au plus. En particulier, si m^\, notre fonction est une simple 

 constante. 



» Pour le démontrer, nous diviserons la circonférence du cercle C en 

 deux parties : l'une C, comprenant tous les arcs où P est positif; l'autre 

 Cj, tous ceux où il est négatif. Soient I, l'intégrale fPd^ relative à C,, 

 et L l'intégrale/ — P û?6 le long de C^. L'hypothèse faite sur P montre que 



P^ tend vers zéro. Il en est de même de ~, car la différence I, — L est 



une constante, à savoir la partie réelle de 27:/(o). Dès lors a,„, étant moindre 



que ' p,„^ ' d'après la formule (i), est nécessairement nul, ainsi que tous 



les coefficients suivants. 



» Soit maintenant une fonction entière çp développée en série de Taylor 

 et supposons que le coefficient de a-'" soit , à partir d'un certain rang, 



moindre que - — r— • Il est facile de voir que cette fonction croît moins vite 



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 que p'^'" % si petit que soit s. Si donc cette fonction est de la forme e*^'^', la 

 partie réelle de G(.r) augmente, du moins en ce qui regarde ses valeurs 



positives, plus lentement que ja"!*"', et, par suite, G(;r) ne peut être qu'un 

 polynôme. 



M Ce que nous remarquerons particulièrement dans ces résultats, c'est 

 qu'ils demeurent inaltérés si l'on change d'une façon quelconque les pre- 

 miers coefficients de la fonction donnée (p. Ils permettent en conséquence 

 de démontrer le théorèine de M. Picard pour les fonctions entières dont 

 les coefficients satisfont à la condition indiquée ci-dessus. 



» En premier lieu, si x est plus grand que i , l'équation ia(x) = a admet 

 toujours un nombre infini de racines, quel que soit a. Plus généralement, 

 il en est de même de l'équation ç(a-) = '^iù(x), quel que soit le poly- 

 nôme ij. 



» Dans le cas où a. est plus petit que i, si la fonction ç(a7) — a [ou plus 

 généralement <p (a;) — (J?(x)] est de la forme $, (j7)e'''"*, la fonction G se 

 réduit elle-même à un polynôme. Il devient alors évident que ce fait ne 

 peut se produire que d'une seule façon pour une fonction 9(r) donnée. 



