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Il est même facile de reconnaître si cette réduction est possible et de l'ef- 

 fectuer s'il y a lieu. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Un théorème sur les fonctions harmoniques. 

 Note de M. G.-D. d'Aroxe, présentée par M. Picard. 



« Soit V(j", j', :;) une fonction réelle des trois variables réelles x, y, z, 

 finie et continue ainsi que ses dérivées premières et secondes dans tous 

 les points de l'espace à distance finie, et qui satisfait à l'équation de 



Laplace 



()-V d'\ (PX _ 

 dx^ df^ ôz' 



» Indiquons par V^ la valeur que la fonction prend à l'origine des coor- 

 données et par V^ la valeur qu'elle acquiert en un point quelconque de 

 coordonnées («, b, c). On sait que les valeurs de la fonction aux points 

 susdits, que nous supposons tous deux au dedans de la sphère de rayon R 

 ayant son centre à l'origine, sont données en fonction des valeurs que la 

 fonction prend sur le contour par les formules connues 



(>) V,==^ ("/""vsinOr/Om, 



(2) ^" = Z7 rr"v^^^^^sin9rf8 4, 

 en admettant que 



r- = a- -^ b- -h c\ r = [(a.^ - a)- -+- (y ~ by- + (= - c)=] . 



Soustrayant la seconde de la première, on a 



(3) V, - V„= ^/Y" |^^_ (R^-/-)R j VsinO J9rf^. 



)) La fonction 



f{x,y,z) = i-'- j, 



est nulle en tous les points du parallèle de la sphère de rayon R déterminé 

 par l'intersection de cette sphère avec un plan mené par un point du seg- 

 ment qui réunit le centre de la sphère avec le point {a, b, c) et normal à 



