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T le rayon de torsion de (T) en A et lî le rayon de torsion de (y) en a; 

 ç l'angle des plans oscillateurs aux points A et a. 



On a 



T/cos^(p = /c^. 



» 3. Conservons les notations du n" 1 et appelons (A) la droite d'in- 

 tersection des plans tangents aux points A et a. Soit U l'angle que la droite 

 (A) fait avec la tangente au point A à l'une des lignes de courbure de (1) 

 passant par ce point : celle qui est relative à R,, par exemple. Soit, de 

 même, u l'angle de (A) et de la tangente, en a, à la ligne de courbure re- 

 lative à r, . On a 



R, — R., . T^ r, — r» . 



sm 2 U = , sm 2.U. 



V/R,R„ v^r.r, 



') 4. Les formules suivantes permettent de déduire des éléments qui 

 caractérisent la courbure de la surface (2), au point A, la somme des 

 rayons de courbure principaux de la surface (t), au point a, et la somme 

 des inverses de ces rayons 



r, -h r, = 



cos-'tp 



^Hu(j^ + -j-j + cos=U(-^ + j-JJ, 

 r^^ + ^] = cos9[sin-U(R, cos2cp + R2)-H-cos=U(R, -h R., cos'ç)]. 



)) 5. En combinant ces formules avec un théorème de Liouville, con- 

 cernant les surfaces algébriques, on obtient celte propriété : 



» Soient, en l'un quelconque des points communs à une droite (D) et 

 à une surface algébrique (i), 



(p l'angle de (D) et de la normale à (i), 

 R,, R, les rayons de courbure principaux, 



U l'angle que la tangente à la ligne de courb^n-e relative à R, fait avec la 

 perpendiculaire au plan de (D) et de la no[-male. 



» On a 



[sin-U(R, cos-çp + R^) -+- cos^U-(R, -t- Rj cos-cp)] cosç = o, 



[• 2tt/ • cos^'jX „.-/cos-c» I \T I 



^'" U(r; ■+- -ht) + ^-os^ U (-3-- -^ ^JJ ^^^ = o. 



chacun des signes sommatoires s'étendant à tous les points en question. 



