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i> Je me propose ici d'ajouter quelques remarques relatives à ce pro- 

 blème. 



» Si ï est quelconque, toutes les équations (B) se déduisent de (A) par 

 la transformation (C) la plus générale, après qu'on a fait t = t^ et rem- 

 placé T par CT, Q, par ooQ,, ou encore T par C(U + A)T, U par . " . s'il 



y a une fonction de forces U. Quand il existe des systèmes (B), soit (B'), 

 qui se déduisent de (A) par d'autres substitutions, il convient de distinguer 



deux cas : -,- peut être une simple fonction des /■,, ou une fonction du 



second degré des r-. Pour qu'on passe de (A) à (B') par une transforma- 

 tion de l'une ou de l'autre espèce, il faut et il suffit que certains invariants 

 de (A) et de (B) [relatifs à la substitution (C)j soient égaux : ces égalités, 

 si la transformation est de seconde espèce, entraînent entre les invariants 

 de (A) [par suite de (B)J certaines relations, d'où il résulte que le pro- 

 blème admet une intégrale du second degré différente de celle des forces 

 vives; a fortiori, il existe entre les invariants de T des relations entraînant 

 l'existence d'une intégrale du second degré pour le problème des géodé- 

 siques. Si la transformation est de première espèce, les égalités analogues 

 se divisent en deux groupes : le premier p3rte sur les invariants de T et 

 de T' et exprime que (B) est encore lui système transformé de (A) quand 

 on annule les Q,, Qj ; ces premières égalités antrainent entre les invariants 

 de chacune des formes T et T' des relations suffisantes |)our que le pro- 

 blème des géodésiques admette des intégrales du second degré; d'après un 

 théorème de M . R. Liouville sur lequel nous reviendrons, ces intégrales 

 forment en général un système complet. Lî second groupe d'égalités dé- 

 termine les Ql en fonction des Q,. 



» Quand on se donne les deux systèmes (a) et (B), les substitutions (G), 

 qui, jointes au changement de variable dt ^idt, , transforment (A) en 

 (B), s'obtiennent par de simples éliminationsi à moins que les relations 

 entre les r, (par suite entre les y,) n'admettent un groupe continu de trans- 

 formations : auquel cas les ^, et X dépendent; d'équations différentielles 

 qui admettent le même groupe. 



» Les groupes continus qui n'altèrent pas les relations qu'un système 

 (A) définit entre les q^ se divisent en trois classes qu'on peut caracté- 

 riser ainsi : i° les transformations infinitésimales du groupe transfor- 

 mant T en (i -t- e)T, £ désignant une constante (on suppose que dans T 



on remplace </,' par dq^); 2° il existe une fonction de forces L) =; ^j et les 



c. R., 1892, 1" Semestre. (T. CXIV, N" 20.) ^4^ 



