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 transformations infinitésimales transforment à la fois 



T = V0 en T' = (n-ï)(V-+--/;)9, et V en (n- ï')( V + r,), 



£, s', v) désignant des constantes; 3" les transformations infinitésimales ne 

 rentrent pas toutes dans les précédentes. Les groupes de la troisième classe 

 peuvent admettre des sous-groupes de la première ou de la deuxième 

 classe. Quand il existe un groi^pe de la troisième classe, il existe des équa- 

 tions (B') correspondant à (Al, et comme la correspondance entre (A) et 

 (B') est soit de la première, soit de la seconde espèce, les groupes de la 

 troisième classe forment deux Catégories ; si le groupe est de la deuxième 

 catégorie, les équations (A) admettent une intégrale du second degré 

 distincte de celle des forces vives; s'il est de la première, le problème des 

 géodésiques relatif à A admet un système d'intégrales du second degré. 



» Ce qui précède montre l'importance des invariants de T et de T'; 

 l'étude de ces invariants se rattache aux travaux de M. Beltrami ainsi 

 qu'à ceux de M. R. Liouville ur les équations du deuxième ordre. Dans 

 une Note récente (^Bulletin de la. Société mathématique, i5 mars), M. Appell 

 annonce une théorie de ces invariants; cette Note renferme la démon- 

 stration d'un théorème énoncé précédemment par l'auteur : Si, quels que 

 soient les Q,, on peut passer de(^A) à un système ÇB') par la transformation 



.)dt.^, les Q'. s'annulent en même temps 

 é ce théorème sous une forme un peu plus 

 lune de nos propositions : 



» Si la correspondance a lie j pour un certain système de Q,-, elle subsiste 

 quand on annule les Q,, Q^ . Le théorème ainsi énoncé résulte d'ailleurs 

 de la démonstration de M. Apjell. 



dernier, M. R. Liouville est revenu sur le 

 montré que, les Q,, Q| étant nuls, s'il existe 

 un système (B'), il en existe une infinité auxquels correspond, en général, 

 un système complet d'intéifrales du second degré. Mais il n'en faut pas 

 conclure que ce remarquable théorème s'applique au cas où il y a des 

 forces, lors même que ces forces dérivent d'un potentiel U : il peut exister des 

 systèmes (B') sans que (A) admette d'autre intégrale du second degré que 

 celle des forces vives. Il est loisible, il est vrai, de substituer aux équations 

 (A) les équations («.) du mouvement sans forces d'un système dont la 

 demi-force vive T = (U + A)T. A quelles conditions ce système (a) ad- 

 met-il, quel que soit h, des transformés tels que (B), soit (p'), où 

 lesQÎ sont nuls? Tel est le problème que résout M. Liouville. Ce problème 



ç, = (p,(...r,-...), dt = l(...r 

 que les Q,. Nous avons rencont 

 générale, comme réciproque d 



» Dans une Note du 2 5 avri 

 problème des géodésiques et a 



