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MÉCANIQUE ANALYTiQUiî. — Sur les intégrales de la Dynamique. 

 Note de M. P. Pai.vlevé, présentée par M. Darboux. 



« Dans une Note des Comptes rendus {mars 1889), M. Darboux a énoncé 

 ce théorème : Si l'on sait résoudre le problème du mouvement d'un point M 

 sur une surface pour une certaine fonction de force, on sait déterminer les 

 géodésiques de cette surface. Je me propose de généraliser ici cette indica- 

 tion de M. DarboMx. 



» Soit S un système matériel dont les liaisons sont indépendantes du 

 temps et qui est soumis aux forces données Q,(y,, . . . , qù). Dans les équa- 

 tions canoniques du mouvement, faisons le cliangement de variables 



/>. = 7' Pi = -y.' ■■■' /'/.= 7' i = y/-; 



. ,, ... dK' dK' , . . , ,... dK ()K , , 



SI 1 on désigne par ^; — > -.; — ce que deviennent les dérivées ^— , ^-- de la 



fonction canonique K quand on y remplace p,, p2< ■■■■, Ph P'"' i> "j> ••• > ";(- 

 ces équations s'écrivent 



/■ r/6 r dq^ cir 



(0 



— -r |-/-^Ql "Y— j '-Ql 



rdqi+y _ '-di/i^, 



dK.' dK' dK.' n n N 



So'il/i^r, u_, .... Hi^, q^, . . . ,qi,,^j') =^ a. une intégrale première de ces équa- 

 tions : à moins que r^one soit un point singulier transcendant de y (j^our 

 toutes valeurs de . . . , '/,vi. ...,(/,, . . . , 6), on peut développer y suivant 

 les puissances croissantes (entières ou fractionnaires) de r 



If 

 f-^r'<l(ii,, ...,;/,,, y, , y^. ^) 



V- + V-' 



<J/'(?/,, ...,;?,,,(/,, ...,y^, G) -t-... = <p(n- r'-f) (;x'>o). 



On montre aisément que : 1° a^ = ^ est une intégrale des équations (i), où ion 



annule tous les Q,-; 2° que f est de la forme /— /-"(A -\- r'-i]/'+ r*il/"-f- . . .) ou 

 se décompose en une somme d'intégrales de cette forme. Il suit de là qu'on 

 peut toujours remplacer/ par une intégrale régulière dans le voisinage 

 de r = o. Si dans (i) tous les Q, sont nuls, tous les termes du développe- 

 ment de/ sont des intégrales. 



