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 » Le point r= o peut-il être un point transcendant de /? Tout d'abord, 

 observons qu'il existe toujours 2k intégrales distinctes de (() régulières 

 pour r=o, par exemple les intégrales 



r" = rg(r, ..., ii^^, q, 0, 7"). 



, 0" = h{r ,/,^,,...,y„...,0,7^), 



^"^ <,= /(r, ....«,^ ,7,, ...,6,ry:), 



' 7/M = m{r w,^, , . . . , y, 0, q"^). 



Une intégrale / quelconque est égale à F(/",0" u"^^, . . . ,q"^^, . . .)\ 



elle n'admet r = o comme point transcendant que si /■"= o est un point 

 transcendant de F, quels que soient 0% . . . , m"^, , • . . , 7"+, 



Aux Q.k intégrales (2) correspondent 2k intégrales 9 = ^ du problème 

 des gèodèsiques relatif à S. Ces intégrales ne sont pas nécessairement dis- 

 tinctes; mais nous allons montrer que, moyennant certaines transforma- 

 tions convenables, on peut toujours de j intégrales distinctes f de (i) déduire 

 j intégrales distinctes (p des mêmes équations où tous les Q, sont nuls. Ceci sup- 

 pose seulement que r=: o ne soit pas un point transcendant dey. 



» Il est facile, dans tous les cas, de ramener les j intégralesyà la forme 



où m est égal à oou à i. A ces intégrales correspondent lesy intégrales des 

 géodésiques <p,^^i];,= p,, <py ^ r'" ^y = ?y- En premier lieu, si ces y" inté- 

 grales cp ne sont pas distinctes, on peut supposer m ^ i. Car soit m ^ o et 

 cp,+, = F((p,, . .., ç,); la fonctiony=: F(/, , . . .,y) est une intégrale de (i) 

 qui pour r ^ o se réduit à <p,+, et n'admet pas r = o comme point transcen- 

 dant; la différence y =/i+, — F(y, , .. .,/i) qui n'est pas identiquement 

 nulle est de la forme 



r'^'(. . ., ",+ qi, . . ., 9) + /•"-'• jc' (v, v' > o); 



1 

 en substituant dans (3)/"'^ à/} et/} à//+(, on donne à m la valeur i. Soit 

 donc 7)1=: i; la dernière intégrale 9^ est toujours distinclie des précédentes; 

 il suffit de prouver que si i est le nombre des intégrales ç,, . . ., cpy_, dis- 

 tinctes, on peut substituer à (3) un système analogue où ce nombre est 

 augmenté d'une unité. Par hypothèse, on a 9,_^, = ¥('f,, . . ., 9,); à l'inté- 



grale/" = •'— (oùf a le même sens que tout à l'heure) correspond l'inté- 

 grale cp' des géodésiques. Si 'p' est distincte de q, , . . ., 9,, il suffit de substi- 



C. R., 1892, I" Semestre. (T. CXIV, N° 21.) '31 



