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 tuer/" à/v, pour que le théorème soit démoatré; sinon, ou raisonne sur 

 /" comme sur/,.,, et ainsi de suite. 



» Je dis que l'on arrive ainsi à une intégrale © distincte de 9,, . . -, 9,; 

 autrement, si grand que fût «•,/,+, vérifierait l'égalité 



,,, i/>. = F(A ./;■)+/;■^^(/..■•-y;•)+/r'■•F.(/,. ••-/.) 



^^^ \ ■ +/r'=- --'iF.c/, //)+/r^]: 



or, si dans /vi on remplace v et i des variables . . . , ;/,+ V, ^ en 



fonction de /y,/,, ...,}; (ce qui est toujours possible), la fonction (/,v,) 

 ainsi obtenue n'admet pas /; = o comme point transcendant et se laisse 

 développer suivant les puissances croissantes (entières ou fractionnaires) 

 de/ ; mais, d'après (4), les coefficients du développement dépendraient 

 seulement de/,, . . ., /, et l'on aurait (/v, ) == F'(/, / , • ••,/); les J inté- 

 grales / ne seraient donc pas distinctes. La proposition est établie. 



» J'ajouterai les remarques suivantes : 1° si lesy" intégrales/sont co/?ipa- 

 tibles fies conditions (/,/) = o sont vérifiées], lesy intégrales 9 sont com- 

 patibles; 2° de / intégrales /algébriques et rationnelles par rapport aux/>,, 

 on peut déduire j intégrales 9 rationnelles distincles. On sait d'ailleurs, 

 d'après un théorème de M. Kœnigs, que si un problème admety intégrales 

 algébriques par rapport à /;;, il existe par le fait même des intégrales ra- 

 tionnelles dont/ au moins sont distinctes. Enfin, quand dans le voisinage 

 de /3, =/J;j = . . . = o, l'intégrale /"se laisse développer suivant les puis- 

 sances croissantes des /?,, ou est le quotient ^ de deux termes ainsi déve- 

 loppés, P et Q ne doivent renfermer chacun que des termes de même pa- 

 rité, sinon on peut déduire de / deux intégrales de la même forme pour 

 lesquelles cette condition est remplie. Cette remarque s'applique notam- 

 ment aux intégrales rationnelles. 



)) En définitive, chaque fois qu'on connaît le mom'ement du système S 

 pour certaines forces Qi(q,, ...,q,,), on connaît le mouvement de S pour 

 Q, = Q, = . . . = Q^ = o. Il faudra donc résoudre avant tout le problème des 

 géodésiques; on donnera aux 2k intégrales 9, de ce problème la forme la 

 plus simple; quels que soient les Q,, il existe une infinité de systèmes 

 de 2k intégrales / distinctes de la forme : /= 9,(1 + f'^'/j)^ c'est un de 

 ces systèmes qu'on cherchera à déterminer. Ou bien encore on cherchera 

 un système complet d'intégrales / correspondant à un système complet 

 d'intégrales 9,. 



)) Quand les forces Q, sont très petites, Q, — iz,, /, est de la forme 



/;■= 9,(1 + er»^,-+-£V*'|; -+-...). 



