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 Si l'on veut étudier le mouvement dans un intervalle de temps donné, ou 

 encore si les perturbations apportées par les forces Q, restent très petites 

 dans toute la durée du mouvement, on peut arrêter le développement de/j 

 au second terme. 



» Les résultats précédents renferment comme cas particuliers les théo- 

 rèmes bien connus de MM. J. Bertrand et de M. Massieu. Il est facile de 

 les étendre au cas où les forces dépendent des vitesses de telle façon que 

 Q, = Q] -I- 0^', les Q), Q° étant homogènes et respectivement de degré [j! = 2, 

 f;."^ 2 par rapport aux pi (exemple, mouvement d'un point mobile avec 

 frottement sur une surface). Plus généralement, ils s'étendent aux sys- 

 tèmes canoniques pour lesquels la fonction K est homogène et de degré <]. 



par rapport aux variables /?,, ..., p,, q,^^, ..., </a, l •' ', ou encore par 



1 

 rapport aux variables y, ,..., ^^j, /v,, ..., /j^, ^ '^~'. » 



MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur les équations de la Dynamique. 

 Note de M. R. Liouville. 



« Soient ^,, x.,, ..., a-,„ les paramètres qui déterminent les positions 

 des points d'un système matériel S, à un instant quelconque t; x\, x'.^, ..., 

 x'^^ leurs dérivées par rapport à cette variable t. Je suppose que l'inté- 

 grale des forces vives existe, et je désigne par T la demi-somme des forces 

 vives, par U la fonction des forces, par h la constante de l'énergie. 



» Représentons par ; une inconnue auxiliaire et considérons l'expres- 

 sion suivante 



{'2 



la fonction U et les coefficients de la forme quadratique T renferment x,, 

 o-j, . . ., x,„ d'une façon arbitraire, mais ne contiennent pas ;, 

 M J'imagine qu'on regarde 



comme étant la demi-somme des forces vives d'un système matériel S,, 

 auquel ne sont appliquées aucunes forces. Les équations du mouvement 



