( 1255 ) 



distribués sur une même conique, le dernier sommet ou sommet « libre » 

 tomberait de lui-même sur la courbe. 



)) Cette dernière conclusion implique d'ailleurs la restriction, évidente, 

 que la relation ( I ) ne se dédouble jkis, accidentellement, dans les deux 

 égalités P ^ + I, P' = -f- 1 , par suite de la situation en ligne droite des 

 points a, f>, . . . ,c; on en vertu de la présence accidentelle d'un axe d'ho- 

 mologie des deux polygones supposés ici impairs. 



» 2. Limitées au cas de deux polygones inscrits ou circonscrits à une 

 conique, la proposition précédente et sa réciproque peuvent être admises, 

 en quelque sorte, sans démonstration. Considérée, en effet, dans la figure 

 formée de deux polygones inscrits à une conique S, la relation (i) rentre, 

 par une transformation facile, dans le théorème de Carnot appliqué à la 

 section de la conique S par le polygone auxiliaire ayant pour cd^e.y succes- 

 sifs les droites i, i', 2, 2', ..., 3, 3' qui joignent les sommets correspon- 

 dants des deux polygones. Considérée, en second lieu, dans la figure for- 

 mée de deux polygones circonscrits, la relation (i) revient au théorème 

 corrélatif de celui de Carnot, appliqué aux 2.n tangentes menées à la 

 courbe par les sommets du polygone auxiliaire a,b, . . .,c suivant lesquels 

 se coupent les côtés homologues des deux polygones. Et enfin la réci- 

 proque partielle, énoncée sous le n° 1, rentre de même dans la réciproque 

 bien connue du théorème de Carnot. 



» 3 . Toutefois la possibilité de comprendre ainsi, sous un même énoncé, 

 ce théorème et son corrélatif, n'est pas seulement curieuse. Elle fournit 

 aussi une démonstration extrêmement simple de la célèbre proposition de 

 Poncelet sur les polygones simultanément inscrits et circonscrits à deux 

 coniques S, S'. 



» Soit, en effet, i , 2, . . . , 3 un premier polygone inscrit à S et circonscrit 

 à S'. Et soit i', 2', . . ., 3' un autre polygone, circonscrit à S' comme le pré- 

 cédent, et partiellement inscrit à S : il s'agit de voir que le sommet 

 « libre » 3' de ce nouveau polygone tombera de lui-même sur S ; or, c'est 

 là ce qui est évident, d'après ce qui précède. 



>i Car les côtés correspondants des deux polygones se coupant deux à 

 deux aux points a,b, .. .,c, et les deux polygones étant l'un et l'autre 

 circonscrits à S', la relation (i) est vérifiée. 



» D'une autre part, la relation (i) étant vérifiée, et tous les sommets, 

 moins un, des deux polygones étant situés, par construction, sur la co- 

 nique S, le sommet libre 3' du second polygone tombera de lui-même 

 sur S, comme il a été dit déjà. 



