( 1256 ) 



« 4. La relation (i), qui est évidente dans le cas du cercle, s'applique 

 encore à deux polygones gauches, concourants, inscrits à une surface du 

 second ordre. 



)) On peut aussi l'établir directement, et par une seule démonstration, 

 pour les trois sortes de polygones auxquels nous l'avons dite applicable. » 



ANALTSE MATHÉMATIQUE.— Sur les développements canoniques en séries, 

 dont les coefficients sont les invariants différentiels d'un groupe continu. 

 Note de M. Arthur Tresse, présentée par M. Picard. 



« Considérons n variables indépendantes ,r,, ...,x^ el p fonctions 

 z,, ..., z de ces variables, soumises aux transformations d'un groupe 

 continu, fini ou infini, 



x =-^\{a-,z), z'--=Z(,r,-). 



» On sait [Lie, Ueber Differentialinvarianten (Math. Ann. 24)] qu'il existe 

 une suite infinie d'invariants différentiels (x,z, -^ , ■■■)> que, en géné- 

 ral, on peut déduire d'un nombre fini d'entre eux, en formant le quotient 

 de deux de leurs déterminants fonctionnels. 



» M. Lie a, en outre, établi, dans ses savantes Leçons, que deux sys- 

 tèmes d'équations (ou, en particulier, de fonctions) 



z, = z'; + ^a,,{a;-xl)+..., =; =:;° + 2^'*(^'^ -■^•^) + ---' 



ne satisfaisant pas à des équations singulières (obtenues en égalant à zéro 

 certains déterminants), peuvent se ramener l'un à l'autre au moyen d'une 

 transformation du groupe, si, pour chacun de ces systèmes d'équa- 

 tions, les invariants différentiels (principaux) sont égaux entre eux. 



» J'ai indiqué, dans une Note précédente (Comptes rendus, 19 avril 1892) 

 sur un exemple particulier, comment on pouvait appliquer les développe- 

 ments en séries au calcul des invariants différentiels. On peut énoncer 

 une proposition générale qui préside à cette théorie. 



» Supposons que les équations de la multiplicité soient dans le voisi- 

 nage d'un point arbitraire x", z" 



(«) =,= s» +2 «m(-^a -<)+..., 



