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 » En effectuant une transformation du groupe, le point (a;":;") se trans- 

 porte an point (x'":'^,), et la multiplicité transformée a pour équations 



(i') z'^^z'^^'^a^ixl-x;)-^.... 



» Un invariant différentiel est une fonction des x" et des coefficients 

 de (i) qui ne change pas de valeur quand on y remplace les lettres par les 

 lettres accentuées. La proposition est alors la suivante : 



» Disposons des arbitraires de la Iransforination, de façon que, parmi les 

 x'" et les coefficients de (i'), un certain nombre ait des valeurs fixes arbitraires. 

 La transformation étant ainsi déterminée, les expressions des autres coeffi- 

 cients de (i') en fonction des x" et des coefficients de (i) sont tes invariants 

 différentiels du groupe. 



» La démonstration repose sur la remarque suivante : Supposons que 

 l'on ait écrit les formules de transformation du groupe en ordonnant les 

 x' — x'" et z' — z'" suivant les puissances des x — x" et z — z°. Jusqu'à un 

 ordre quelconque, les coefficients de (i') ne dépendent que des coeffi- 

 cients du même ordre ou d'ordre inférieur des équations (i) et des for- 

 mules de transformation. Les coefficients de (i) sont donc limités à un 

 ordre quelconque, transformés par un groupe fini ; la proposition résulte 

 alors immédiatement d'une remarque de M. Lie sur les invariants d'un 

 groupe fini ( ' ). 



>) Par exemple, si l'on a une fonction y d'une variable x 



y = Vo + «, (>:• — ^'o)-^^^ ("^' "^ '^'')' "^ T^i (-^ ~ J-o)-' +• • ■ 



et que x soit soumis à la transformation projective générale, on peut 

 déterminer celte transformation de façon que l'on ait 



rî, = o, a\ := I , a., ^= o, 



et alors on a 



a,= —Aa. 



ce qui reproduit un invariant bien connu. 



» Les applications de cette méthode peuvent encore être poussées plus 



(') Tlieorie der Transjorntaliongruppcn, iinier Mitwirkiing von Engcl, bear- 

 beitet von Sophus Lie, t. I, p. 218. 



C. R., 1892. 1" Semestre. (T. CX.1V, N° 22.) lO- 



