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loin, comme je l'ai déjà montré, clans ma Note précédente, sur un cas 

 particulier. En voici un nouvel exemple important. 



» Étant donnée une surface dans l'espace ce, y, :-, on peut effectuer sur 

 or, y, z une transformation linéaire déterminée, de telle façon qu un 

 point arbitraire de la surface se transporte à l'origine, l'équation de la 

 surface, dans son voisinage, ayant en outre la forme 



;s = j;v + ^-±^ + -^(a4o-^'' + 4«3.a^'.v-+-6ao,.r-y= + a,3.Tj'-l-û!„,y) + .... 

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» Le calcul se fait sans difficultés et met en évidence deux cas d'excep- 

 tion : 1° celui des surfaces développahles; 2" celui des surfaces réglées. 



» Notre proposition montre que les coefficients a^,,, ..., exprimés en 

 fonction des variables primitives, sont invariants de la surface, relative- 

 ment à la transformation linéaire. 



» Pour passer de là aux invariants du groupe projectif général, on re- 

 marquera que les transformations de ce dernier qui n'altèrent pas la forme 

 de l'équation précédente sont celles du groupe 



x{xp +yq -+- zr) — zq, y(.rp -l-yq -H zr) — zp, z(xp -+- yq + zr), 



les transformations, ajoutées à celles du groupe linéaire, donnent précisé- 

 ment toutes les transformations du groupe projectif. 



» Elles transforment entre eux les coelficients de l'équation en laissant 

 invariantes les deux fonctions suivantes 



a,i„-4-2a,3, 0-0,-4- 2a,,, 



dont les expressions en fonction des variables initiales sont donc les inva- 

 riants du quatrième ordre du groupe projectif. La même méthode con- 

 duirait aussi aux six invariants du cinquième ordre qui, jointes aux précé- 

 dents, suffiront, d'après le théorème de M. Lie, à la détermination de 

 tous les autres. 



» Il faut noter que, dans cet exemple, comme dans celui de la Note 

 précédente, la réussite de la méthode tient à ce fait que l'on peut partager 

 les transformations du groupe en deux sous-groupes, le premier conduisant 

 à une forme réduite, les transformations du second n'altérant pas les ca- 

 ractères de cette forme canonique. » 



