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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe de fonctions analytiques d une 

 variable dépendant de deux constantes réelles arbitraires; par M. Emile 



PiCARU. 



« On a fondé autrefois les plus grandes espérances sur l'étude des équa- 

 tions différentielles ordinaires : on pensait ainsi obtenir de nombreuses 

 classes bien définies de transcendantes nouvelles. Il faut reconnaître que, 

 si on laisse de côté les équations linéaires, ces espérances ont été jusqu'ici 

 à peu près déçues. 



)) Une des raisons pour lesquelles les équations linéaires sont si inté- 

 ressantes est que les points critiques des intégrales sont fixes; aussi 

 M. Fuchs a-t-il fort judicieusement appelé l'attention sur les équations 

 différentielles du premier ordre, pour lesquelles les points critiques des 

 intégrales ne dépendent pas de la constante arbitraire. On sait qne 

 M. Poincaré a montré que ces équations ne pouvaient conduire à des 

 transcendantes essentiellement nouvelles. Dans des travaux très remar- 

 quables, M. Painlevé a élargi notablement le problème en considérant les 

 équations du premier ordre dont les intégrales n'ont qu'un nombre limité 

 de valeurs autour de points critiques mobiles; ici encore les théorèmes 

 auxquels arrive le savant géomètre montrent que l'on ne peut être ainsi 

 conduit à de nouvelles fonctions. 



)) Si, pour les équations d'ordre supérieur au premier, nous considé- 

 rons le cas des points critiques fixes, les conclusions sont autres. Malheu- 

 reusement, comme je l'ai indiqué autrefois, une différence considérable se 

 présente dès le début de la théorie. On peut, étant donnée une équation 

 du premier ordre, reconnaître sur l'équation elle-même si les points cri- 

 tiques des intégrales sont fixes; il n'en est plus ainsi pour les équations 

 du second ordre. Ainsi, j)our ne prendre qu'un castrés simple, on ne peut 

 reconnaître algébriquement si l'intégrale générale est uniforme, mais 

 seulement si elle est à apparence uniforme. Les conditions pour que l'in- 

 tégrale générale soit uniforme sont de nature transcendante; il est donc 

 impossible, en général, de les former. 



» Je me suis demandé si l'on ne pourrait obtenir des classes de fonc- 

 tions analytiques d'un caractère plus général que celles qui sont fournies 

 par les équations du premier ordre. Je crois y être arrivé en considérant 



