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se trouve pas doublement homologiqiie à cliacun des n triangles avi, 

 V I 2, I 2 3, 2 3 /|, ... parcourus alternativement, de droite à gauche, ou 

 de gauche à droite » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les groupes discontinus de substitutions 

 non. linéaires à une variable. Note de M. Paui. Painlevé, présenlée par 

 M. Picard. 



« On sait, grâce aux travaux de M. Poincaré, former tous les groupes 

 discontinus de substitutions linéaires z- = -^ — -7-'- Dans une telle siibsti- 



Ci Zî -H Ctî 



tution, à une valeur de z correspond une seule valeur de z et réciproque- 

 ment. Il est facile de passer de la théorie des groupes linéaires à celle Je* 

 groupes de substitutions dans lesquelles à une valeur de z correspond un nombre 

 donné n de valeurs de z,-. 



» Si les substitutions forment un groupe, inversement, à une valeur de z^ 

 correspondent n valeurs de z. La question revient donc à étudier les 

 groupes de substitutions (z , z,) où z et z^ sont liées par une relation f, (3 , 2,) = o 

 de degré n par rapport à -,. 



» Traitons d'abord le cas de /i = 2. 



)) Une au moins des relations /,(3, 3,) = o, soit /,(:;, r,) = o, est irré- 

 ductible et de degré 2 par rapport à t et à ^,; autrement, toutes les substi- 

 tutions seraient linéaires. Le genre/) de/", ^ o est égal à o ou à t. 



» Ceci posé, soity,(^. z,) = o,yo(s, ^o) = o deux substitutions du groupe 

 et f^iiz, 2;,)^ o la substitution résultante. Écrivons les trois équations 



(,) /,(3,s.)=o, (2) /,(.-„=3) = o, (3) /3(.,.,)=o. 



» Pour chaque svstème de valeurs (;, -,) satisfaisant à l'équation (i), les 

 équations (2) et (3) en ^3 ont au moins une racine commune. 



» Supposons en premier lieu qu'elles en aient deux : on voit aisément 

 dans ce c^s que les variables z et s, sont liées par une relation de la forme 



où R est une fraction rationnelle du second degré en z, et a,, 6,, c,, r/, des 

 constantes. Si donc on pose R(3) = t, R(s,) = ^^ les valeurs t, qui cor- 

 respondent à t sont définies par un groupe linéaire (/, /,). 



» Si les équations (2) et (3) en ^3 n'ont qu'une racine commune, deux 

 cas peuvent se présenter suivant que/j est égal à o ou à i . Dans le premier 



G. lî. iSç)2, I" Scmeslie. (T. CXIV, N° 23.) 'T-* 



