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 cas, écrivons 



s = (p(/), ::, = ■!,(/), avec t = R(:-, :■,), 



(p et J/ étant rationnels en Z et R en :;, z, . En prenant pour /. la substitii- 



lion /, répétée, on voit que, si Ton fait :■, = 'a{t,), on a /, — ^^ ^ _,_ ^^ J 



a,t -h hj 

 plus généralement, en faisant z,= ?('i)- "" trouve //— 'rt + di ' 



» Le groupe (z, z^) se déduit donc d'un groupe linéaire par le change- 

 ment de variable :. = <^(t). Il est clair, d'ailleurs, qu'un changement de 

 variable tel que / = R (-) ou z = o (t) (R et ç étant des fractions ration- 

 nelles du second degré) transforme un groupe linéaire (/, //)en un groupe 

 de substitutions à deux valeurs (:;, -,). 



» Quand p est égal à i, on pose z =l(t), ;, = [7.(0. '>' ^^ V- désignant 

 deux fonctions doublement périodiques de t. Si Ion fait z^ = l(ti), 

 on trouve que «, est égal à t-hhi, /«,- étant une constante. Pour que le 

 groupe (=, r,) soit discontinu, il faut et il suffit qu'il existe un certain 

 entier v, tel qu'on ait hi= ^"^"^ ^" ■ ^j_. qi ^'_ sont des entiers positifs ou 



négalifs, w et co' les périodes. Le groupe est alors algébrique. On serait 

 arrivé aux mêmes résultats en remarquant que le groupe (::, z,-) est sem- 

 blable à un groupe de transformations de la courbe y, = o en elle-même. 

 M Plaçons-nous maintenant dans le cas où n serait un nombre premier 

 quelconque. Là encore deux hypothèses sont possibles : les équations (2) 

 et (3) en ^3 ont n racines communes ou une seule. Dans la première 

 hypothèse, on ramène le groupe à un groupe linéaire par le changement 

 de variable i = R(5), où R représente une fraction rationnelle en z de 

 degré n. Dans la seconde hypothèse, trois cas sont à distinguei-, suivant 

 que/3 est nul, égal à i, ou plus grand que i. Quand /j est égal à o ou à 1, 

 les résultats énoncés pour n = -i subsistent. Si p est plus grand que x, on 

 pose :; = 'I'('). -1 = 'ï'XO' ''' ^^ ^ étant deux fonctions fuchsiennes de 

 t. A chaque couple de valeurs {z,z^) correspond un seul point l du poly- 

 gone fuchsien. En faisant z^ = ^{li), on trouve encore que t et f, sont 

 liés par une relation homographique 



» La substitution (4) doit conserverie polygone fuchsien. On sait qu'un 

 tel polygone, de genre plus grand que i , ne saurait admettre qu'un nombre 

 fini de telles transformations : elles forment un groupe et correspondent 

 aux différents cas de symétrie du polygone. Le groupe ( =, ;,) qui s'en déduit 



