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 est donc algébrique. On serait arrivé aux mêmes conclusions en montrant 

 qu'à chaque substitution (-,s,) correspond une transformation de la 

 courbe y, = o en elle-même. Inversement, d'ailleurs, tout groupe de 

 transformations en elle-même d'une coui^be C de degré n est semblable à 

 un groupe (=, r.,). 



» Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : 



» Soit n un nombre premier quelconque. Les groupes discontinus non algé- 

 briques de substitutions à n valeurs (z, s,) se déduisent des groupes linéaires 

 (l, ti) par un des deux changements de variable, s = 9(0' I^(") ^= '» ^'' 

 m et R sont des fractions rationnelles de degré n. Les groupes algébriques 

 (^z, s,) se déduisent des groupes linéaires finis par les mêmes changements de 

 variable, ou sont send)lables à un groupe de transfonnations en elle-même 

 d'une courbe de degré n et de genre plus grand que zéro. 



)) Lorsque n est quelconque, si les équations (2) et (3) en z^ ont n ra- 

 cines communes ou une seule, tout ce qui précède s'applique. Mais il peut 

 arriver que les équations (2) et (3) aient /^' racines communes, n' étant un 

 diviseur de n. Dans tous les cas, par un changement algébrique de la va- 

 riable, on ramène le groupe (;, s,) à un groupe (^, C,) pour lequel les 

 équations (2) et (3) n'ont qu'une racine commune. Comme je le montre- 

 rai ultérieurement, le problème est alors équivalent au problème de la cor- 

 respondance de k points à k points sur une courbe algébrique. On parvient 

 ainsi à ce théorème général : Soit n un entier quelconque ; tout groupe 

 discontinu non algébrique de substitutions à n valeurs (s, ^,) se déduit d'un 

 groupe linéaire (i, z^') par un changement algébrique de la variable, F(/, z) =. o, 

 où F est un polynôme de degré n' en z, de degré n" en l(^n'n" = n). Tout 

 groupe algébrique (2,-,) se déduit d'un groupe linéaire fini par le même 

 changement de variable, ou est semblable algébriquement à un groupe de 

 transformations en elle-même d'une courbe C de degré n" et de genre plus 

 grand que zéro; à chaque point de C correspondent n' valeurs de z. 



» On peut dire, si l'on veut, que tout groupe (s, z,) est semblable algébri- 

 quement à un groupe de transformations en elle-même d'une courbe algé- 

 brique, ou encore semblable à un groupe linéaire; mais le changement de 

 variable qui fait passer d'un groupe algébrique (s, =,) au groupe linéaire 

 {t, ti) est transcendant si p est plus grand que o. 



» Ces résultats sont à rapprocher du théorème de M. Sophus Lie : Tout 

 groupe continu (z, Zi) est semblable à un groupe linéaire (f , /,). La méthode 

 que nous avons suivie démontre ce théorème dans le cas où le groupe 

 (-, -,) est algébrique. 



