( '40» ) 



rilic'cs si l'on pose 



ce qui donne, en verLu de la seconde, 



p.- + m* = h- + k-. 

 » Pour satisfaire à cette dernière équation, nous poserons 



[j. = /(COS2O — XsinaO, m = /isin29 + X-cos29; 



alors nous aurons les quatre fonctions p, q, p,, 7, exprimées au moyen 

 de h et de 9 de la manière suivante 



p = A(/isin20-l-Xcos2 9), p, = 2Ccos6(/iCos9 — Â-sin9), 



— q = 2Asin9(/isia9 + X-cos9), — Ç, — C(Asin29 + X-cos26). 



» Tout revient à déterminer la courbure moyenne h et la fonction auxi- 

 liaire 9, qui a une signification géométrique simple : c'est l'angle que fait, 

 en chaque point delà surface, l'une des courbes coordonnées (i' = const.) 

 avec l'une des lignes asymptotiques. 



» Substituons p, q, p,, q, dans les deux premières équations du 

 groupe ( 2) en ayant égard aux expressions de a- et de r, . Nous arrivons ainsi, 

 tous calculs faits, au système 



/ 2/4(A;, + C9;,)sin26 - (C,', - A9:,) cos29] 



(3) + 2AA;,sin6cos9- ^Ch'„cos^^ 



{ +[2X-(C:, — A9:)+CX-;,]sin29 + [2/{(A: + C9;,) + AA-;,]cos29 = o, 

 / 2/i[(C;, - A9:,)sin29 -i-(A; + C9;,) COS29] 



(4) — 2 AA: sin^'G -+- 2Ch'„ sin9 cos9 



( - 12^(a:-+- C9;,) + A/{-;,]sin29 + [2/i-(C;,- A9:,) + CA-;,jcos29 = o. 



» Ici se présente une particularité remarquable. Si l'on multiplie l'équa- 

 tion (3) par sin9, l'équation (4) par cos9 et qu'on les ajoute membre à 

 membre, les deux dérivées de h disparaissent à la fois, et il vient 



(5) 



(A[^(Csin9)+^,(Acos9)l 



( -^ V't [~ (c fk cosO) - ^^ (A sjk sin9)] = o. 



