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» Ainsi, une fois déterminé, la courbure moyenne h sera connue ex- 

 plicitement. (Il n'y a exception que si le coefficient de h et le terme indé- 

 pendant sont nuls ; cette double hypothèse caractérise les éléments linéaires 

 qui conviennent à des surfaces réglées et conduit aux déformations bien 

 connues qui dépendent d'une fonction arbitraire.) Les six fonctions />, r/, 

 r, />,, ^,, r, étant connues, la surface est entièrement déterminée; il ne 

 reste plus qu'à intégrer deux équations de Riccati (voir Darboux, Leçons 

 sur la théorie des sur/aces, t. I, Chap. VI). 



» Nous allons maintenant former l'équation que doit vérifier l'angle 0. 

 Multiplions l'équation (3) par cosO, l'équation (4) par sinO et retranchons- 

 les membre à membre ; le résultat obtenu peut s'écrire 



^^(AAsinO)- ^^(ACcos9)+ V^[|;(AN/^cos6)+^^(CV^sin9)]=o. 



Il suffit d'y substituer la valeur de h fournie par la relation (5) pour obtenir 

 l'équation cherchée 



iP ^(Av//.sin6)--^(Cv'^cosO)l 

 ^ Av/^-sinO^^-^^ ^-^ Uv/;t4(Av/Z-cosO) 



L Oi> Ou J 1 



= o. 



I -p (AcosO)+ -— (CsinO) I 



l_ (jv ait _J 



M Elle est visiblement linéaire par rapport aux dérivées secondes de 0. Je 

 ne puis entrer dans le détail des applications qu'elle comporte. Je tiens 

 seulement à faire observer qu'à toute solution réelle de cette équation cor- 

 respond une surface réelle, ce qui n'a pas lieu nécessairement quand l'in- 

 connue du problème est une des coordonnées de la surface. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des fonctions fuchsiennes. 

 Note de M. Ludwig Schlesinger. 



« La décomposition des groupes fuchsiens E, que j'ai indiquée dans ma 

 Note du i6 mai, en supposant que ce groupe soit formé de n substitutions 

 fondamentales entre lesquelles il n'existe point de relation, donne nais- 

 sance à une suite indéfinie de fonctions algébriques d'une variable x. 



