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convergente vers une limite :;, dont x est fonction fuchsienne du genre 

 zéro et de la deuxième ou de la quatrième famille. C'est ce que je me pro- 

 pose d'établir pour les fonctions de la deuxième famille. 



1» Soit donc x —/(z) une telle fonction, invariable si l'on fait subira :; 

 une des substitutions du groupe E, à l'aide de laquelle toutes les autres 

 s'expriment rationnellement, et désignons par xy=/\(z) les fonctions 

 analogues appartenant aux sous-groupes E).(X = 1,2, ...). Alors x est 

 fonction rationnelle de xi 



X 



9y(^->.) (1=1,2,...), 



et nous pourrons supposer que le point = = o est situé à l'intérieur du 

 polygone générateur R du groupe E, que les xi s'évanouissent avec :-, 

 qu'ils deviennent infinis au sommet («>, nx+,) du polygone générateur 

 R)i de E) et que, pour une valeur z = a, les xi acceptent la même valeur a. 

 Pour la fonction algébrique x, de x, les valeurs «, , . . ., a,^, «„_,., = oc de x, 

 correspondant aux sommets (2/1, 1), (i, 2), . . . , (n, « -f- 1) de R, sont les 

 seuls points de ramification. Quand x décrit un contour simple fermé au- 

 tour du point a/t(X" = 2, 3, . . ., n), z subira la substitution i/( = S^^J^S^; la 

 détermination x'"' =/, (s) de la fonction x, de x se changera donc en 



(A- 1 ) 

 I » 



/. (S- , S,=) =/, (S-', S,Sl!, S,_. =) =/, (S,_, =) = x' 

 et la détermination ct'*"" elle-même en 



/,(S,.,St,S,z)=/,(S,z)=x\'"; 



enfin, x ayant tourné trois fois autour de a/,, x'"' reviendra à sa valeur ini- 

 tiale. Un contour simple décrit par la variable a; autour de a, change ic',"' 

 en <' =/, (S,.-), x\" en <*'=/, (S,' r), (k-1,2,..., n) et<" en J"^ 

 , "*' en x\'"(k = 2, 3, . . ., n), tandis que x tournant une seule fois autour 

 de a„,<' passera en a?',"'", <*' en [xf, (k = 1,^, . . ., n) et x'f en a;',"', xf, 

 enx';''" {k = i,i,...,n — i). La surface T, dcRiemann, qui représente la ra- 

 mification de a-, 'comme fonction de x, se composera donc de 2n -|- i feuil- 

 lets o, d=i, ..., ±n, ... et, en joignant les points a,, ...,«„+, par une 

 coupure, il faudra réunir le long de (a^, «w), (1 = 1, 2, . . ., n), \e bord 

 gauche du feuillet o au bord droit de — 1, le bord gauche de — )^ au bord 

 droit de 1, le bord gauche de ce dernier feuillet au bord droit de >. et, en 

 désignant par A l'un quelconque des nombres i, 2, ...,/i différant de 1, 

 le bord droit de ± itau bord gauche de q= k. Une fonction uniforme du lieu 



