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delà surface T|, ne devenant infinie que dans un seul point de celte surface, 

 est complètement déterminée, abstraction faite de trois constantes arbi- 

 traires; si nous ajoutons les conditions que celle des déterminations de 

 ladite fonction, qui est multiforme dans le voisinage de chacun des points 

 a,, . . ., a„+,-, s'évanouisse avec x et qu'elle acquière la valeur a quand x 

 devient égal à cette même valeur, nous aurons gagné une définition indé- 

 pendante de X, comme fonction de x. Pour les points x = a,, . . ., a„_^,, 

 Xf accepte des valeurs que l'on pourra faire correspondre aux substitu- 

 tions 



2'," = S',", 2r'=(S;'i,)-'Sl" (k = i,3,...,n), 



X;i.-(SL")-'; 



nous désignons ces valeurs dans l'ordre établi par cette correspondance 

 par a\", . . ., a"^^,, et nous achevons la définition complète de x, en suppo- 

 sant que aj,'^, = ce. Alors on pourra construire sur le plan des x,, à l'aide 

 des points a^" (^- = i, 2, . . ., n, -+- 1) comme points de ramification, une 

 surface de Riemann Ta de la même manière que T, avait été construite à 

 l'aide des points a,, ..., a,,.,, sur le plan des x, et x.^ sera déterminé 

 comme fonction uniforme du lieu deTo en lui imposant les mêmes condi- 

 tions que nous avons dû établir pour la détermination complète de j:, , 

 fonction de x. En continuant ce procédé, nous allons arriver à une défi- 

 nition indépendante de la fonction x^ correspondant au groupe Ex, et il 

 est facile de démontrer que les xy convergent vers une limite déterminée 

 avec )^ croissant. 



» On conclut, en effet, en s'appuyant sur les propriétés indiquées de 

 la fonction x\ et sur l'équation 



limEx=limE),+c= i, 



établie dans ma Note du 16 mai, que, pour un nombre C entier, positif quel- 

 conque, lima^x est fonction linéaire à coefficients constants de lima,-x; 



). = " X— « 



donc, comme Xy, a^x+c acquièrent en même temps les valeurs o, 0, x, 

 on a 



lim(a-x^c — x>.) =■ o- 



» La discussion spéciale de cette fonction limite •/) — lima^x se fait à 

 l'aide des principes que j'ai indiqués dans mon Mémoire du tome CV du 



