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Journal de Crelle (p. 212 et suiv.) pour la question analogue traitée au lieu 

 cité, et l'on trouve, par cette discussion, que xi est fonction uniforme de r\, 

 invariable quand r, subit une substitution du groupe Ex, et que, dans 1 in- 

 térieur du polygone R), la fonction x^ n'acquiert chaque valeur qu'une 

 seule fois. Par les valeurs de vi correspondant aux points x = a,, . . ., «„+,, 

 le plan des •/) se trouve divisé en deux régions; la fonction xx de 71 n existe 

 que dans une seule de ces régions, et l'équation v) = lima^x nous fournira 

 une valeur de vi, située dans l'une ou dans l'autre de ces régions, selon 

 que X est situé à l'intérieur ou à l'extérieur d'une certaine courbe fermée 

 passant par les points a, , . . . , «„+, . La fonction yi estdonc identique avec :;, 

 c'est-à-dire z = lima^x- Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant : 

 Etant donné le nombre n des substitutions fondamentales d'un groupe 

 fuchsien E de la deuxième famille, on aura un algorithme bien déterminé, 

 à l'aide duquel on saura former d'une variable x et des (« 4- i) quantités, 

 différentes entre elles, mais, d'ailleurs, arbitraires, a,, . .., ««,_,, une série 

 infinie de fonctions algébriques de cette variable, convergeant vers une 

 limite dont x est fonction fuchsienne appartenant à un groupe E, qui est 

 complètement déterminé par les valeurs données des o, , . . . , a„+,-. Nous avons 

 par là, pour le cas considéré, une démonstration nouvelle du théorème 

 fondamental de M. Poincaré sur l'existence des équations fuchsiennes 

 dans un type donné, démonstration qui ne s'appuie pas sur la méthode 

 de continuité, mais dans laquelle il faut appliquer le principe de Dirichlet 

 pour pouvoir conclure l'existence d'une fonction algébrique appartenant 

 à une surface de Riemann donnée. » 



MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur les transformations en Mécanique. 

 Note de M. P. Painlevé, présentée par M. Darboux. 



« Je voudrais revenir sur un problème dont je me suis occupé pré- 

 cédemment, pour dissiper un malentendu qui semble persister entre 

 M. R. Liouvillc et moi. Ce problème est le suivant {\o\r les, Comptes rendus, 

 1 1 avril 1892) : 



» Etartt donné un système d'équations de Lagrange 



