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 former tous les systèmes 



tels que les relations entre les q^ définies par ( A) e/ par ( B) coïncident. 



» Ou obtient toujours des systèmes {li) en remplaçant T par CT,, Q, 

 par ocQÎ, ou encore T par (_;(U + /<)T,, et U par j-^ j s'il existe une [onc- 

 tion de forces U. Ce sont, en général, les seuls. Quand il y en a d'autres, 

 deux cas sont à distinguer : i" toi/s les O, sont nuls; il en est de même alors 

 desQ); les équations (A), qui définissent les géodésiques relatives à T, 

 admettent une intégrale du second degré autre que T = h, et le rap[)ort 



-T- est une simple fonction des y,; 2" tous les Q, ne sont pas nuls; deux; 

 hypothèses sont possibles : le rapport -j- est une simple fonction des qi ou un 

 polynôme du second degré par rapport aux -~^ • Dans la j)remière hypothèse, 



les équations des géodésiques relatives à T admettent une intégrale du 

 second degré et des systèmes transformés (B); mais les équations (A) 

 elles-mêmes n'admettent pas, en général, d'intégrale du second degré 

 (autre que celle des forces vives, si les forces dérivent d'un potentiel) ; 

 dans la seconde hypothèse, les équations (A) elles-mêmes admettent une 

 intégrale du second degré (qui n'est pas celle des forces vives). Les résul- 

 tats sont donc très différents suivant qu'il y a ou non des forces données; 

 la seconde partie du théorème, plus cachée que la première, est d'une 

 démonstration plus compliquée. L'hypothèse que les forces dérivent d'un 

 potentiel n'apporte d'ailleurs aucmie simplification. J'ajoute que le |)ro- 

 blème qui nous occupe se pose naturellement dans l'étude des groupes 

 continus de transformations qui conservent les relations entre les y, défi- 

 nies par (A) 



» Dans une Note ultérieure (^Comptes rendus, 25 avril), M. Liouville a 

 indiqué une méthode à laquelle il était parvenu de son côté et qui permet, 

 dit-il, de retrouver et de compléter le théorème précédent dans le cas 

 oi\ les forces admettent une fonction de forces. En réalité, comme je l'ai 

 montré (Comptes rendus, 16 mai), il n'en est ainsi que quand toutes les 

 forces sont nulles : quand il y a des forces, le problème traité par M. Liou- 

 ville n'a aucun rapport avec le mien. 



» M. Liouville est revenu sur la question (Comptes rendus, ^'3 mai) et a 



C. R., 1892, 1" Semestre. (T. CXIV, N" 24.) '82 



