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 essayé encore de ramener l'étude des transformations de (A) quand les Q, 

 dérivent d'un potentiel à l'étude des transformations de géodésiques. Son 

 procédé consiste à substituer aux équations (A) un système analogue (A'), 

 où tous les Q, sont nuls et qui renferme une variable de plus : les relations 

 entre les q^ définies par (A') dépendent d'une constante de plus que les re- 

 lations définies par (A) et coïncident avec ces dernières si l'on donne à 

 cette constante une valeur particulière. M. Liouville se propose d'étudier 

 les transformations de (A') au lieu des transformations de (A); mais /ey 

 deux problèmes sont absolument différents. 



)) Ils n'ont pas, en général, de solutions en même temps : à une transfor- 

 mation de (A) ne correspond pas une transformation de (A') et réciproque- 

 ment. Observons enfin qu'il est facile de former une infinité de systèmes 

 tels que (A'), dont l'intégrale générale comprend l'intégrale de (A) comme 

 intégrale particulière; les transformations de ces divers systèmes (A') n'au- 

 ront aucun rapport entre elles; on ne mettra donc nullement en évidence 

 ainsi des propriétés intrinsèques des équations (A). Notamment l'étude de 

 ces transformations ne sera d'aucune utilité dans la recherche des groupes 

 continus de (A). 



« D'ailleurs, il n'est nullement dans mes intentions de comparer l'inté- 

 rêt respectif des questions que traite M. Liouville et de celles que je me 

 suis posées. Mon seul but est de montrer (\u elles sont essentiellement dis- 

 tinctes. Bien plus, pour résoudre le problème qui nous occupe, on ne 

 saurait espérer, par un procédé quelconque analogue à celui de M. Liou- 

 ville, ramener le cas où il y a des forces (même dérivant d'un potentiel) 

 au cas des géodésiques. Si la chose était possible, en effet, l'existence 

 d'un système (B) entraînerait, dans tous les cas, l'existence d'une inté- 

 grale du second degré pour les équations (A), ce qui n'est pas vi-ai. Le 

 cas où les Q, dérivent d'une fonction de force est donc irréductible avec 

 celui où les Q, sont nuls; il est plus général aussi bien en réalité qu'en appa- 

 rence. 



•» En définitive, je me suis posé sur les équations de Lagrange (A) une 

 question naturelle, qui est en connexion étroite avec les propriétés des 

 groupes continus de ces équations. J'ai démontré à ce sujet un théorème 

 fondamental. La méthode de J\I. Liouville permet de retrouver et de com- 

 pléter ce théorème dans le cas où il n'y a pas de forces données; dans le cas 

 où il y a des forces (même admettant un potentiel), je l'ai démontré seul 

 jusqu'ici. » 



