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» Le problème peut s'énoncer ainsi : 



» Un point matériel est sollicité par une force dont les composantes, 

 pour chaque point de l'espace où il se trouve, sont déterminées en fonc- 

 tions (les coordonnées de ce point. Quelle est la loi de ces forces pour 

 laquelle le point, quelles que soient les conditions initiales, décrit une 

 section conique ? 



» La réponse suivante est remarquable par sa simplicité. Si la vitesse 

 initiale est tangente à la direction de la force agissant au point de dé- 

 part, la composante normale étant nulle, le rayon de courbure de la tra- 

 jectoire est infini. La conique se réduit, par conséquent, à une ligne 

 droite. On en conclut que la direction de la force en un point M étant 

 MP, elle restera la même pour tous les points de cette droite, et, par con- 

 séquent, les forces cherchées forment un faisceau de droites dont chacune 

 représente la direction de la force en un quelconque de ses points. 



» Toutes ces forces passent par un même point. — Soient M, en effet, un 

 point quelconque, et MP la direction correspondante de la force. M' un 

 autre point de l'espace et M'P' la force qui agit en M'; supposons que 

 le point mobile partant de M, la vitesse initiale soit dirigée dans le 

 plan PMM'. Ce plan sera évidemment celui de l'ellipse décrite. Si l'on 

 choisit la direction et la grandeur de la vitesse de telle sor'e que la tra- 

 jectoire passe en M', la force accélératrice en ce point devant être dans le 

 plan de la trajectoire, M'P' est située dans le plan PMM' et rencontre par 

 conséquent PM. Des lignes droites en nombre infini, et se rencontrant 

 toutes deux à deux, passent nécessairement par un même point. Soit G ce 

 point. 



» Nous supposerons, ce postulatum est indispensable, que l'action sur 

 chaque point de l'espace soit une fonction de la distance au point G. 



» Le point attirant G est situé sur l'un des axes de l'une quelconque des 

 ellipses trajectoires. 



» Abaissons, en effet, du point G une normale GA sur l'ellipse parcourue, 

 en considérant le mobile parvenu en A, on voit imméiliatemunt que la 

 direction de la vitesse étant perpendiculaire à GA, la trajectoire, quelle 

 que soit la loi d'attraction, est symétrique par rapport à GA. Or, une nor- 

 male par rapport à laquelle l'ellipse est symétrique est un axe. 



» En nommant A et A' les deux sommets situés sur l'axe qui contient le 

 point G, les actions exercées en ces deux points sont entre elles dans le rapport 



de GA' à G A , c'est-à-dire de ; à -■ 



GA' GA' 



