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» I^a force qui sollicite le mobile étant, en effet, dirigée vers le point G, 

 les aires décrites dans des temps égaux à partir des points A et A' sont 

 équivalentes, et, par conséquent, les vitesses (^ et v' en ces deux points 

 sont inversement proportionnelles aux rayons vecteurs normaux GA 

 et GA'. Les rayons de courbure p et p' en deux sommets d'une même 



ellipse étant égaux, les fractions — et — ^ ont pour rapport —/, mais ces 



fractions représentent précisément les forces accélératrices qui sont en A 



et en A' normales à la trajectoire, et dont le rapport, égal à— ,> l'est aussi 



GA' G A' 



» Les actions exercées aux distances GA et GA' sont donc inverse- 

 ment propo. lionnelles aux carrés de ces distances. Il reste à prouver que 

 ces distances sont arbitraires et indépendantes l'une de l'antre. Le point 

 de départ A, pour lequel la vitesse initiale sera supposée ])erpendiculaire 

 à GA, peut, évidemment, être choisi arbitrairement. Ce choix étant fait, 

 l'ellipse décrite dont un sommet est en A contient un paramètre arbitraire 

 représenté par la grandeur de la vitesse initiale dont la direction seule 

 est donnée. Ce paramètre permet de faire varier le second sommet A', et 

 les distances GA et GA' sont indépendantes l'une de l'autre; c'est donc 

 pour des distances arbitraires et indépendantes que l'action est inverse- 

 ment proportionnelle au carré de la distance. 



» Un cas d'exception doit être signalé : c'est celui où le sommet A', 

 maleré la vitesse arbitraire, serait déterminé quand le sommet A est 

 donné. On doit avoir, dans ce cas, GA = GA' et le point G est le centre 

 de l'ellipse. Quelle que soit en effet la loi d'attraction, le cercle est une 

 des trajectoires possibles; il correspond au cas où la vitesse initiale au 

 point A rendrait la force centripète dans le cercle de rayon GA égale à 

 l'intensité de l'attraction en A. On aura alors GA = GA' et, d'après notre 

 hypothèse, cette relation convient à toutes les ellipses. 



» I^orsque le point qui décrit une ellipse est attiré vers le centre, la 

 force est proportionnelle à la distance. 



» Une attraction dirigée vers un centre fixe, proportionnelle à la 

 distance ou inversement proportionnelle à son carré, est donc la seule 

 force déterminée en chaque point de l'espace qui puisse faire décrire des 

 eUipses à toutes les planètes. » 



