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 doubles X et Y sont analogues à une intégrale double découverte par Fou- 

 ricr (') et qui se réduit, elle aussi, à un seul de ses éléments. 



» Pour le démontrer, on peut avoir recours non à l'analyse de Fourier, 

 mais à la démonstration géométrique qu'il y a ajoutée et qui est plus gé- 

 nérale. 



» Afin de faciliter le rapprochement, il convient de développer 



<pl sm' 



efï tant que fonction de :;, à l'aide de la série trigonométrique de Fouiier, 



entre les limites z = o, z = -■ On a ainsi 



(b) (p( sur ^î-T— ] = (.„ -I- C, cos— - T-Cocos-^^ — 1-. . .4- (.,cos-^ h. 



» Il faut remarquer que le premier membre étant, ainsi que le second, 

 une fonction périodique de z, ayant -^ pour période, les deux membres 



sont égaux non seulement entre o et -, mais encore entre deux multiples 

 quelconques de -• Le développement est donc valable non seulement de o 

 à-> mais de zéro à l'infini. Il faut remarquer encore que les coefficients 



du développement C,,, C,, ... sont indépendants de X comme de :;; en 

 d'autres termes, ce sont des nombres déterminés seulement par le choix de 

 la fonction <p. En effet, on a 



» l'osons -^ = a, par suite dz = 7— dx; il vient 



çp ( sin- - J ^/a, C,=^ 8tc / o (s'\n- -\ cos lot. dx, 



» La variable x disparaissant par l'intégration, les coefficients (]„ , ... 

 se réduisent donc à des nombres. 



(') Œuvres de Faillit:!-, jjuljlices |i;ir iVl. G. Dakb )ux, l. I, p. 494- Gautliier-\'il- 

 lal^-^ ul lilb. 



